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CHAPITRE XXX.
Le second membre est, en effet, un ensemble de termes de la
forme
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{im_{1}y_{2}+m_{2}v},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb808bce19b5005a3f9b2af98185f4ce2b5ba277)
et
étant entiers ; et l’intégration se fait sans obstacle,
pourvu que l’on n’ait pas
![{\displaystyle im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9304ff0acf582f34f7f2e557c500411de4feebcf)
Or, comme
est égal à
étant un nombre commensurable
dont le dénominateur est égal à
le second membre de
notre équation contiendra des termes satisfaisant à cette condition.
Il en résulte que
ne sera pas une fonction périodique
de
et
mais pourra être égalé à
![{\displaystyle \mathrm {T} _{k}-y_{2}\mathrm {U} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f6d2930c6b96ee2f825f2c46b569e2117ca725)
et
étant périodiques.
Ayant ainsi déterminé la fonction
et poussé l’approximation
aux quantités près de l’ordre de
on peut employer le procédé
du no 275 et déterminer ainsi
Ces deux modes de calcul doivent conduire au même résultat.
Soit donc
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\mathrm {S} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e49b5aed9d9bcab08c7591b9d70d266a73ca56)
Construisons les équations (Cf. p. 99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\Sigma }{dy_{2}}},&u&={\frac {d\Sigma }{dv}},&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\Sigma }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\Sigma }{d\beta _{0}}},\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f611bf4cfa63454507b5f0f082b23c7ecf8ac1)
et tirons-en
en fonction de
la valeur de
ainsi trouvée
devra être égale à
![{\displaystyle \xi _{0}+\varepsilon \xi _{1}+\ldots +\varepsilon ^{k}\xi _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e93257f698481b6ac2459fc2224fae0bd7146f)
aux quantités près de l’ordre de ![{\displaystyle \varepsilon ^{k+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7090134b25f7f6fc356690f835e5f6b6c97e361)
Ce qui nous intéresse, c’est le calcul de
et, en particulier,
celui du terme séculaire
![{\displaystyle t\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105a871548e599dac4bf353d6ec9128b7bdd5119)
Ce terme séculaire ne peut provenir que du terme séculaire de
qui est égal à ![{\displaystyle y_{2}\mathrm {U} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48cf26e49e4b06dbe777a5e92d9ab29abc18e2f)