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CHAPITRE XXV.
puisque la quantité sous le radical se réduit à
pour
Nous ne pourrions plus tirer cette conclusion si
était nul : or il
importe de pouvoir la tirer, à cause de la présence du radical
dans ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
Considérons maintenant la seconde équation (2). La fonction
qui y entre dépend de
et de
et est de la forme suivante
![{\displaystyle \Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}+\mathrm {A} _{00}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77471f09b7ea545fa01e8941c9dcace4fb7cf58)
Les coefficients
sont des constantes pouvant dépendre de
et
Les indices
et
peuvent prendre toutes les valeurs
entières, positives, négatives ou nulles. J’ai mis en évidence, en le
faisant sortir du signe
le terme où ces deux indices sont nuls.
La seconde équation (2) nous donne alors
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\alpha _{1}y_{2}+\beta _{1}v+\sum {\frac {\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}}{in+2\mathrm {B} m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd2a6261e2709c365a85f9173a19a077948d6cf)
avec la condition
![{\displaystyle \alpha _{1}+2\mathrm {B} \beta _{1}=\mathrm {A} _{00}+\mathrm {C} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97fa454a9b0024ff68f003d5a04402d8d1397ec)
Sauf cette condition, les constantes
et
sont arbitraires ;
je supposerai donc
![{\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e91c95809f1a2891776346022f35cae64f07f77)
Je déterminerai
par la troisième équation (2) ; cette équation
étant tout à fait de même forme que la seconde, se traitera de la
même manière, et ainsi de suite.
En résumé, les dérivées
et
sont développables suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcb0600b565446cdbc2f4d26765ca9ad8cf83ad)
Si l’on compare cette analyse avec celle du no 125, on voit
qu’il y a entre elles une analogie parfaite. Seulement, au lieu de
n’avoir que des exponentielles imaginaires
![{\displaystyle e^{\pm iy_{1}},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad \ldots ,\quad e^{\pm iy_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b93c68e30b2a3f6110080af4dd80cd6c0496193)
nous avons ici des exponentielles réelles
![{\displaystyle e^{\pm v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd6beb716cb05037d1a1bf37fb02c99b7f37053)
275.Une fois la fonction
déterminée, nous pouvons, par
l’application de la méthode de Jacobi, arriver à des séries analogues
à celles du no 127.