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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
La fonction
dépend de
de
et des deux constantes
et
La constante des forces vives
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8a2a91113976c53e4afa02be7efc4b94a45604)
est fonction de
et de ![{\displaystyle \beta _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56080d9b264cb5758f38c7a99e6eeb4a2f0addf6)
On a alors, comme solution de nos équations différentielles
canoniques, les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}};&u&={\frac {d\mathrm {S} }{dv}};&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}};\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5c620078f3bc763507be6264abcbc377ab7f60)
où
et
sont deux nouvelles constates d’intégration.
Je vois d’abord que
et
qui dépendent d’ailleurs de
et
sont développables suivant les puissances de
D’autre part,
est développable suivant les puissances de
et, si je fais
j’ai comme première approximation
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=\alpha _{0};&u={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}&=\beta _{0};\\n_{1}t+\varpi _{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\alpha _{0}}}&=y_{2};&n_{2}t+\varpi _{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\beta _{0}}}&=v.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5741d21cd5924c097ed9b6e199172744df9b629a)
On a quatre équations d’où l’on peut tirer
et
développés
suivant les puissances de
et dépendant d’ailleurs de
Par un raisonnement tout pareil à celui du no 127, on verrait que
![{\displaystyle x_{2},\quad u,\quad y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1}),\quad v-(n_{2}t+\varpi _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c310e0a45096024d9fc6e964bbf48ce8c9a1b5ee)
sont développables suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad e^{\pm i(n_{2}t+\varpi _{2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caa96f00f59dadde29364bacadaf96caa3d8be9)
Il en sera de même d’ailleurs de
et
Je pourrais même ajouter que toutes ces quantités sont développables
suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8b37dbcd66c63668884ba8ee4e61b8fd05bd3a)
et, en effet,
est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{v},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa9f1257341683bba8f63363989df4408115352)