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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
et l’intégrale correspondante de (2)
(
![{\displaystyle \delta h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71ab197adb11465d6f6af2d885b8b4b11313646)
étant une constante).
Pour l’application du principe de Maupertuis, il faut supposer
![{\displaystyle \delta h=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7593159749ccd37d71e4702be333a0f8cb94e51e)
de sorte que nous aurons
![{\displaystyle x'\xi '+y'\eta '={\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\,\xi +{\frac {d\mathrm {U} }{dy}}\,\eta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f242b51ae7044f799331d0e69ff1fdd2c2bfca6)
ou bien
(3)
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Nos équations (2) et (3) admettront alors trois solutions linéairement
indépendantes que nous avons appelées au no 345
(4)
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Posons
(5)
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Si alors nous appelons
les trois valeurs de
qui
correspondent aux trois solutions (4), nous aurons
et la fonction
que nous avons appelée
au no 343 ne sera autre chose que
![{\displaystyle \zeta (t)={\frac {\theta _{2}}{\theta _{3}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1124b1daba847e66c5242063694b63cc1afbfda0)
De l’équation (5) on tire
(6)
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et
![{\displaystyle \theta ''=\xi y'''-\eta y'''+\xi ''y'-\eta ''x'+2(\xi 'y''-\eta 'x'').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9bfb8fdbc2f0a196ca0bf06ff4a6afff0cdee4)
Mais
et
satisfont aux équations (2), de sorte que l’on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,y',\\y''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dy^{2}}}\,y'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77387825add662ba0fb561370c66129d75c072de)
Remplaçons dans l’expression de
les dérivées
et
par les