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CHAPITRE XXIX.
Mais, quels que soient les
et les
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}+\varepsilon _{i}t\right)=at^{2}+2bt+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e996eaa1c1af17a31aae569725995081a57c1d25)
étant indépendants de
la dérivée seconde du radical est
alors égale à
![{\displaystyle {\frac {ac-b^{2}}{\left(at^{2}+2bt+c\right)^{\frac {3}{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7316096699e7f8038fe6ad5eb07ef702700c5c96)
Comme le polynôme
est essentiellement positif, cette expression
est aussi toujours positive et la condition (A) est toujours
remplie.
344.Passons au principe de Maupertuis dans le mouvement
relatif. Nous avons alors à envisager l’intégrale
![{\displaystyle \int \left[ds\,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}+\omega '(\xi \,d\eta -\eta \,d\xi )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a83d42671a714a933adda6604ad43a26f11d22)
ou, en prenant
pour variable indépendante,
![{\displaystyle \int d\xi \,\left[{\sqrt {(\mathrm {H} _{0}+h)(1+\eta '^{2})}}+\omega '(\xi \eta '-\eta )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7098261dfe82b12de39c42166661478c212327ee)
Il faut donc rechercher si la dérivée seconde par rapport à
de
![{\displaystyle {\sqrt {(\mathrm {H} _{0}+h)(1+\eta '^{2})}}+\omega '(\xi \eta '-\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda244244e41a9ca664d846869e1d5ae68422fda)
est positive ; or, cette dérivée est
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}{\left(1+\eta '^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c577393634911fc4455267cc150d92e024f02b5)
La condition (A) est donc toujours remplie.
Ainsi la condition (A) est remplie d’elle-même dans tous les
cas que nous aurons à examiner.
Foyers maupertuisiens.
345.Les foyers cinétiques ne sont pas tout à fait les mêmes
suivant qu’on envisage l’action hamiltonienne ou l’action maupertuisienne.
Pour mieux nous en rendre compte, supposons deux