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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
d’où enfin
![{\displaystyle \mathrm {H} (x_{i}'+\varepsilon _{i})-\sum \varepsilon _{i}{\frac {d\mathrm {H} }{dx_{i}'}}=\mathrm {H} +\mathrm {H} _{2}(\varepsilon _{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3f98234750266c09744e5e36ab662f33b82386)
Le premier membre correspond à la fonction
![{\displaystyle f(x_{i}'+\varepsilon _{i})-\sum \varepsilon _{i}{\frac {df}{dx_{i}'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea13e1042ac8b190ff9f8427d8e3b5ec33c65754)
comme la forme quadratique
est définie positive, nous
voyons que l’expression est minimum pour
c’est-à-dire
que la condition (A) est remplie.
343.Passons au cas du principe de Maupertuis dans le mouvement
absolu. L’intégrale à examiner s’écrit alors
![{\displaystyle \int d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ba27f98a8d3a4b278fec700dc6ad7d67f68033)
où
est une forme quadratique définie positive par rapport aux
différentielles ![{\displaystyle dx_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0d869d200c671f06706fd6e83870e7986236a)
Prenons pour un instant
pour variable indépendante ; l’intégrale
devient
![{\displaystyle \int {\frac {d\tau }{dx_{1}}}\,dx_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae610d04aa6c24fdfe69864c530e3c6b9f8c32ab)
où
est un polynôme du second degré
non homogène
(mais essentiellement positif), par rapport aux
Soit donc
![{\displaystyle {\frac {d\tau }{dx_{1}}}={\sqrt {\mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}\right)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f390a7b746d8beca7235ae348434a866867a91)
Il s’agit de savoir si
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}+\varepsilon _{i}\right)}}-\sum \varepsilon _{i}\;{\frac {d}{dx_{i}'}}{\sqrt {\mathrm {P} (x_{i}')}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92301837a40bacaf7998b0efe59fd7ff692cd5ed)
est minimum pour
ou, en d’autres termes, si la dérivée
seconde, par rapport à
du radical
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}+\varepsilon _{i}t\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e9525596685eec2f6fee93abc518a65eecc9a6)
est positive.