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CHAPITRE XXVIII.
où
est une constante très petite, se déduit de la solution périodique
en donnant au temps un très petit accroissement
et correspond,
par conséquent, à la même valeur de la constante des
forces vives que la solution périodique.
Notre relation, qui ne peut se réduire à une identité, se réduit
donc à
![{\displaystyle \mathrm {D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a6c0274b798177dc6dc31f1c3ab53c49152df6)
Mais, si
est nul, le terme
disparaît dans la forme (3).
Pour que
admette un maximum ou un minimum, il suffit
donc que les quantités
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bf65c73a556396a2e097106ea4c9267dd1597b)
soient toutes de même signe.
S’il n’y a que deux degrés de liberté, 'il n’y a qu’une de ces
quantités.
Donc, s’il n’y a que deux degrés de liberté et si
est purement
imaginaire, la fonction
présente toujours soit un maximum,
soit un minimum.
326.Supposons-nous maintenant placés dans les conditions
du no 322, de sorte que
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783993bc7ddec6129bcbd43ea600fb3064e0920c)
et regardons
comme une constante. Pour que
ait un maximum
ou un minimum, il faut d’abord que l’on ait une solution périodique
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29738962d8527edea8986473dafb41d08ae36353)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)\,;&\varphi _{i}'(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}'(t)+2m_{i}\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6663585949b77a2d4334c8148a7f831413f298da)
Nous envisagerons alors une solution voisine
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'\,;&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72682e57a9c79140f3d2d3acd6ed4a4a7a21b426)
et la discussion se poursuivra comme plus haut ; les résultats sont
les mêmes.
Pour qu’il y ait un maximum ou un minimum, il faut d’abord
que tous les exposants
soient purement imaginaires ; il faut