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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
d’où
(3)
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324.Pour discuter l’équation (3), il faut distinguer plusieurs
cas :
1o Les exposants
sont réels ; les fonctions
![{\displaystyle \theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed21f8aa7e4a854ccf322f37c6a51a97eb7bbe86)
sont alors aussi réelles.
2o Les exposants
sont purement imaginaires et le carré
est réel négatif.
Alors les fonctions
et
et
sont imaginaires conjuguées.
3o Les exposants
sont complexes. Alors nous aurons,
parmi les exposants caractéristiques, les exposants
qui
seront imaginaires conjugués des exposants
et
![{\displaystyle \theta _{j.i},\quad \theta _{j.i}',\quad \theta _{j.i}'',\quad \theta _{j.i}'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4753eb9a6153254567d797234c0e7518f8eda0)
seront imaginaires conjugués de
![{\displaystyle \theta _{k.i},\quad \theta _{k.i}',\quad \theta _{k.i}'',\quad \theta _{k.i}'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1220740a9f906391b495fee60c2d7dc63c387a8)
Supposons maintenant les
et les
réels. Pour le calcul des
constantes
nous aurons
équations que l’on
obtiendra en faisant dans l’équation qui donne
par exemple,
![{\displaystyle t=0,\quad t=\mathrm {T} ,\quad t=2\mathrm {T} ,\quad \ldots ,\quad t=(2n-1)\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a73a7c42d9f4beb969f0b034670cc98350b9595)
Ces
équations sont linéaires par rapport aux
inconnues
Les seconds membres sont réels et les coefficients sont
réels ou imaginaires conjugués deux à deux.
Quand on change
en
:
1o
et
ne changent pas quand
est réel ;
2o
et
se permutent quand
est purement imaginaire ;
3o
et
se changent en
et
quand
est complexe et
imaginaire conjugué de
Donc :
1o
et
sont réels quand
est réel ;
2o
et
sont imaginaires conjugués quand
est purement
imaginaire ;