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CHAPITRE XXVIII.
variables soient nulles, c’est-à-dire que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}=\xi _{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=\eta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3743edb758eb1059f5228f62b31ebcbad50c2e75)
La solution correspondante est donc une solution périodique
de période
et cette période
est ici une des données de
la question.
Ne regardons plus
comme une donnée ; pour que
présente
un maximum ou un minimum, il faudra que l’on ait d’abord
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}=\xi _{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=\eta _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af688b1b0283c19ca0b88b117533cdf15973ac33)
et, de plus,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79af559356c685095f154bb92896d0ec18130a6b)
Mais, si
il reste
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a068427ba06341efffcac41b9fdde31aefbf1c0b)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11cbada637750a1082fc51136690e4be094478)
La solution correspondante sera encore une solution périodique
de période
Mais la période
ne sera plus une donnée de la question : ce
qui sera une donnée, c’est la constante des forces vives
qui
n’intervenait pas dans le cas précédent.
Les deux manières de rechercher les maxima de
se rattachent
aux deux manières d’entendre le principe de moindre action, celle
de Hamilton, et celle de Maupertuis. On le comprendra mieux
après avoir lu le Chapitre suivant.
322.On peut aussi modifier de la façon suivante la définition
de la fonction
Dans un grand nombre d’applications,
est une fonction périodique
de période
par rapport aux
Dans ce cas, une solution
peut encore être regardée comme périodique, quand
et que
est multiple de
Alors il est clair que si nous posons
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ea9e83beb2ef7a19f97bb2a9054584edb40ad4)
où
sont des entiers quelconques, l’expression
sera encore une différentielle exacte.