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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.
plein
Comme
est très petit et que toutes nos courbes
diffèrent très peu de la circonférence
le segment
sera très petit.
Nous voyons alors que
sont
les conséquents successifs de
que
sont ceux de
et enfin que
sont ceux de
Les arcs
ne sont plus rectilignes en
général, mais sont des arcs de courbe très petits.
La partie de la figure en trait plein reproduit alors les fig. 1
ou 2 du no 308 ; et l’ensemble de nos courbes en trait plein
représente une courbe invariante
J’ai fait la figure dans la première hypothèse qui, comme nous
l’avons vu, doit être rejetée ainsi que la cinquième ; d’après ce
que j’ai dit au no 309, il en est de même de la deuxième.
Il faut examiner la quatrième avec plus de détail. Pour cela,
cherchons l’équation de nos surfaces asymptotiques. D’après ce
que nous avons vu au no 207, cette équation peut s’obtenir de la
façon suivante :
On forme une fonction
qui est développable suivant les puissances
de
de telle sorte que
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\mathrm {S} _{p}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74cfd968f2b592781de63f54a25ffe96799c5f6e)
Quant à
c’est une fonction périodique de période
par
rapport à
et
par rapport à
Nous aurons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}'&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}'}},&x_{2}'&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}'}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29fe8e6c8fa8965f5ba248455dd8eb90da034ea)
(4)
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L’équation (4) est l’équation de la surface asymptotique.
Si la série
était convergente, la périodicité des
entraînerait
cette conséquence que nos courbes devraient être fermées
et que les deux points
et
coïncideraient. Mais il n’en est
pas ainsi (cf. no 225, et sqq.).
Que signifie alors l’équation (4) ? Elle ne peut être vraie qu’au
point de vue formel ; c’est-à-dire que si
est la somme des