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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.
Cette nouvelle hypothèse doit donc être rejetée.
En résumé les deux arcs et se couperont toutes les
fois que pour une raison ou pour une autre les hypothèses 2o et 4o
devront être rejetées.
Il resterait à examiner le cas où les points se suivraient
sur dans un ordre différent. Les ordres
ne diffèrent pas essentiellement de celui
que nous venons d’étudier.
Les ordres tels que ne
se présenteront pas dans les applications qui vont suivre ; nous
supposerons toujours en effet que, si est très petit, les distances
et sont très petites par rapport à la longueur
des arcs ou
Il reste l’ordre ou les ordres équivalents ; nous n’en
parlerons pas non plus ; il est clair que, s’il se présente, il y aura
sur l’arc un point qui sera son propre conséquent.
309.Supposons par exemple que les équations (1) admettent
une solution périodique
(6)
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et des solutions asymptotiques
(7)
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Supposons que les équations (1) dépendent d’un paramètre
très petit et que soient développables suivant les puissances
de ce paramètre.
Supposons que, pour les solutions asymptotiques (7) se
réduisent à des solutions périodiques. Voici comment cela pourra
se faire. Nous avons dit que les sont développables suivant les
puissances de les coefficients étant eux-mêmes des fonctions
périodiques de Mais l’exposant dépend de supposons qu’il
s’annule pour alors pour les fonctions deviendront
des fonctions périodiques de et les solutions (7) se réduiront
à des solutions périodiques.
La surface asymptotique va couper le demi-plan suivant une