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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.
Cette nouvelle hypothèse doit donc être rejetée.
En résumé les deux arcs
et
se couperont toutes les
fois que pour une raison ou pour une autre les hypothèses 2o et 4o
devront être rejetées.
Il resterait à examiner le cas où les points
se suivraient
sur
dans un ordre différent. Les ordres
ne diffèrent pas essentiellement de celui
que nous venons d’étudier.
Les ordres tels que
ne
se présenteront pas dans les applications qui vont suivre ; nous
supposerons toujours en effet que, si
est très petit, les distances
et
sont très petites par rapport à la longueur
des arcs
ou
Il reste l’ordre
ou les ordres équivalents ; nous n’en
parlerons pas non plus ; il est clair que, s’il se présente, il y aura
sur l’arc
un point qui sera son propre conséquent.
309.Supposons par exemple que les équations (1) admettent
une solution périodique
(6)
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et des solutions asymptotiques
(7)
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Supposons que les équations (1) dépendent d’un paramètre
très petit
et que
soient développables suivant les puissances
de ce paramètre.
Supposons que, pour
les solutions asymptotiques (7) se
réduisent à des solutions périodiques. Voici comment cela pourra
se faire. Nous avons dit que les
sont développables suivant les
puissances de
les coefficients étant eux-mêmes des fonctions
périodiques de
Mais l’exposant
dépend de
supposons qu’il
s’annule pour
alors pour
les fonctions
deviendront
des fonctions périodiques de
et les solutions (7) se réduiront
à des solutions périodiques.
La surface asymptotique va couper le demi-plan suivant une