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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.
loppant suivant les puissances de
(Cf. no 108) et les traitant
ensuite comme je l’ai fait au numéro précédent.
La fonction
est, pour
voisin de
développable suivant
les puissances de
et de
et la fonction
pour
voisin
de zéro, se développe suivant les puissances de
et de
Cette propriété est caractéristique. La fonction
est la seule, en
effet, qui soit développable suivant les puissances de
et de
et qui satisfasse à l’équation (2) ; de même
est la seule fonction
qui soit développable suivant les puissances de
et de
et qui
satisfasse à l’équation (2).
D’autre part, les nos 207 à 210 nous apprennent que les
fonctions
peuvent être mises sous la forme de séries procédant
suivant les sinus et les cosinus des multiples de
Elles sont donc
développables à la fois suivant les puissances de
et de
pour
voisin de
et suivant celles de
et de
pour
voisin de zéro.
On a donc
![{\displaystyle \mathrm {T} _{i}=\mathrm {T} _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a016cc973b906e7ef16e4be4012a0fb7fc08406d)
Si donc les développements (18) étaient convergents, on aurait
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8e0a6f9d2fb60e72911c6a1b51391591e3b8ac)
Donc les développements (18) divergent.
Donc les développements du no 108, d’où on peut les tirer, ne convergent pas non plus.
(Cf. Tome I, p. 351, lignes 3 sqq.,
et Tome II, p. 392, ligne 13.)
232. J’ai supposé, dans ce qui précède, que
s’annule
pour
Cette restriction n’a rien d’essentiel. Si
ne
s’annulait pas et était égal par exemple à
il suffirait d’ajouter
aux développements (14) et (15) un terme
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {\mathrm {A} _{0}}{2\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a7457db314fe859775ddf4c69e7f23501480fc)