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CHAPITRE XXI.
est la partie réelle de
et
se présente sous la forme d’un
développement procédant suivant les puissances de
et qui n’est
autre chose que le développement (14).
231. Les fonctions
et
se présentent sous la forme de développements.
Le développement de
procédant suivant les puissances
de
n’est convergent que quand
est voisin de
celui de
procédant suivant les puissances de
n’est convergent
que quand
est voisin de zéro. Mais on peut, par continuité
analytique, définir
et
pour des valeurs de
quelconques ;
on peut « continuer » ainsi ces fonctions de telle façon qu’elles
soient définies toutes deux pour les valeurs de
comprises entre
et
,
et
étant elles-mêmes comprises entre 0 et 2
On peut se demander si dans ce champ où elles sont définies
toutes deux, les fonctions
et
sont égales. La réponse doit être
négative. En effet, si l’on avait identiquement
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93dbb058b739b11275e31d51f8c52d723595c75)
les termes des développements convergents de
et
suivant les
puissances de
devraient être égaux et l’on devrait avoir en particulier
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\mathrm {S} _{1}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad41d86e576f2bc031693a163e1b162529ae661)
et par conséquent
![{\displaystyle \psi =\psi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1217ee556ae2add31f12b330b3b50c48f2aa970)
Or nous avons vu dans les numéros précédents que
n’est pas égal à ![{\displaystyle \psi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538b8f2cb492dab999a83fbb5d66e24725b7a107)
Ainsi
n’est pas égal à
on peut tirer de là une conséquence
importante. Nous savons que
et
sont développables formellement
suivant les puissances de
soient
(18)
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ces développements peuvent s’obtenir, soit par les procédés des
nos 207 à 210, soit en partant des séries (17) et (17 bis), les déve-