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CHAPITRE XXI.
230.On peut se proposer maintenant de rattacher les développements
du no 228 à ceux du Chapitre VII.
Nous avons vu au no 225 que, quand
les équations admettent
une solution périodique simple
![{\displaystyle x=t,\qquad p=y=q=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059f216fbfea8c605ad90f65b7eee60645750a78)
avec les exposants caractéristiques
et que les solutions
asymptotiques correspondantes sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}},&\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ac36bba60edfc23acdf030f5af6ce16642f934)
La troisième de ces équations peut aussi s’écrire
![{\displaystyle \operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c103fc81118939d16cec837376332201e663103f)
ou
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c8e13682aa0a1bb07822d65726a90502bbc9f5)
suivant qu’on prend le signe supérieur ou le signe inférieur.
Comme les exposants caractéristiques ne sont pas nuls, les
principes des Chapitres III et IV nous apprennent que, pour les
petites valeurs de
il existera encore une solution périodique ;
nous aurons encore
pendant que
et
seront des fonctions
de
et de
développables suivant les puissances croissantes
de
s’annulant avec
et périodiques de période
par rapport à
De même les exposants caractéristiques qui seront égaux et de
signe contraire, et que j’appellerai
seront développables suivant
les puissances croissantes de
(Cf. Chapitre IV) ;
se réduira
à
pour
Pour les petites valeurs de
il existera également deux séries
de solutions asymptotiques qui se présenteront sous la forme suivante ;
pour la première série, nous aurons
(17)
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et
étant des séries développées suivant les puissances
de
et dont les coefficients sont périodiques en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)