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CHAPITRE XXI.
Si
devient entier, l’un des dénominateurs de la formule (8)
![{\displaystyle 1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a6a94216e911b02c00dd5d53ca090bbf0e5b93)
s’annule et la formule devient illusoire. Et en effet un des termes
de cette formule devient infini. Dans ce cas, il est aisé de voir que
le terme qui devient ainsi infini doit être remplacé par
(13)
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et, en effet, on a
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\int e^{(im\lambda +\alpha )u}\,du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9921cdd538166338b5c30fc16ea5d389395d)
Si
n’est pas nul, l’intégrale du second membre est égale à
![{\displaystyle {\frac {e^{(im\lambda +\alpha )u}}{im\lambda +\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d15f32b41ea03de019be71de371ac18d31258e5)
plus une constante que l’on peut supposer nulle. Mais, si
est nul, cette intégrale est égale à
plus une constante que l’on
peut supposer nulle.
En substituant ainsi l’expression (13) dans
à la place du terme
qui deviendrait infini, la fonction
ne devient plus infinie, mais
elle cesse d’être périodique par rapport à
228.Revenons au cas limite où
est nul et supposons d’abord
![{\displaystyle \varphi (y)=\sin y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c2d627315298306e5419d4c6152f2884300c3)
La formule (10) nous donne alors
![{\displaystyle \psi =4\,{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{0}^{t}{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} \,t^{-2\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c39a9236718ea18169d30b615f706e8bcc36b9)
étant une constante d’intégration. Le premier terme est développable
suivant les puissances croissantes de
pourvu que
soit
plus petit que 1. Il en est de même du second terme, car
![{\displaystyle {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}={\textstyle \sum }\,t^{(2\alpha +2n)}(-1)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2aea9654f002db1a5a797a4d4633dbe825594b5)