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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Un certain nombre de questions se posent alors naturellement :

1^o Nous savons que $\mathrm {N}$ et $\Pi$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ en est-il de même du quotient ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}\,?$

2^o S’il en est ainsi, il existe des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},$ de $e^{t{\sqrt {-1}}}$ et de $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ qui satisfont formellement aux équations proposées ; ces séries sont-elles convergentes ?

3^o Si elles ne sont pas convergentes, quel parti peut-on en tirer pour le calcul des solutions asymptotiques ?

Développement de ces solutions selon les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

108.Je me propose de démontrer que l’on peut développer ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et que, par conséquent, il existe des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},$ de $e^{t{\sqrt {-1}}}$ et de $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ qui satisfont formellement aux équations (1). On pourrait en douter ; en effet, $\Pi$ est le produit d’un certain nombre de diviseurs (5) du n^o 104. Tous ces diviseurs sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais quelques-uns d’entre eux, ceux pour lesquels $\gamma$ est nul, s’annulent avec ${\sqrt {\mu }}.$ Il peut donc arriver que $\Pi$ s’annule avec $\mu$ et contienne en facteur une certaine puissance de ${\sqrt {\mu }}.$ Si alors $\mathrm {N}$ ne contenait pas cette même puissance en facteur, le quotient ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ se développerait encore selon les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }},$ mais le développement commencerait par des puissances négatives.

Je dis qu’il n’en est pas ainsi et que le développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ ne contient que des puissances positives de ${\sqrt {\mu }}.$

Voyons par quel mécanisme ces puissances négatives de ${\sqrt {\mu }}$ disparaissent. Posons

$\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}=w_{i}$

et considérons les $x$ et les $y$ comme des fonctions des variables $t$ et $w.$

Il importe, avant d’aller plus loin, de faire la remarque suivante : parmi les $2n$ exposants caractéristiques $\alpha ,$ deux sont nuls et les