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SÉRIES DE M. BOHLIN.
de
et si, dans les expressions ainsi obtenues, on considère
les
et les
comme constantes arbitraires et les
comme des
fonctions linéaires du temps, on aura les coordonnées
et
exprimées en fonctions du temps. C’est ce que nous apprend le
théorème du no 3.
Mais il est préférable de modifier un peu la forme des équations (1)
et d’écrire
(2)
|
|
|
les
étant des fonctions arbitraires de
et des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Il est clair que si l’on remplace les équations (1) par les équations (2),
les
resteront des fonctions linéaires du temps ; car les
ne dépendant que de
et des
seront des constantes.
Voici d’ailleurs l’usage que je ferai de ces fonctions arbitraires
je les choisirai de telle sorte que les
les
et les
soient des fonctions périodiques des
de période
Plaçons-nous d’abord dans le premier cas, celui où
est toujours
réel et ne s’annule jamais et voyons quelle est la forme des
séries ainsi obtenues.
Dans ce cas, les
sont des fonctions des
périodiques et
de période
quant à
c’est une fonction de la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} '+\beta _{1}y_{1}+\beta _{2}y_{2}+\ldots +\beta _{n}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb988381aa9098fed6b3d16fa3452837f934856)
étant une fonction périodique des
et les
étant des fonctions
de
et des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
De plus,
et les
sont développables suivant les puissances
de
Comme, d’après les hypothèses faites sur les entiers
les
conditions (10) de la page 349 se réduisent à
![{\displaystyle \alpha _{i}^{p}=0\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999540969edb32e51d84a3543be5ec42cf10dd18)
on aura tout simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{2}&=x_{2}^{0},&\beta _{3}&=x_{3}^{0},&&\ldots ,&\beta _{n}&=x_{n}^{0},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95b95c6dceca6529bc2980c7496549493ea5a76)