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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

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Si maintenant nous posons

${\begin{array}{c}x=x_{1},\qquad {\dfrac {dx}{dt}}=y_{1},\qquad t=y_{2},\\\mathrm {F} ={\dfrac {y_{1}^{2}}{2}}-\varphi (x_{1},y_{2})-x_{2},\\\end{array}}$

l’équation (3) pourra être remplacée par les équations canoniques (3) du numéro précédent avec 2 degrés de liberté seulement. C. Q. F. D.

Je citerai encore un dernier exemple. Considérons un corps solide pesant, suspendu à un point fixe, et étudions les oscillations de ce corps. Pour définir complètement la position de ce corps, il faut se donner trois conditions ; il faut connaître en effet les trois angles d’Euler formés par un système d’axes invariablement liés au corps avec un système d’axes fixes.

Le problème comportera donc 3 degrés de liberté ; mais nous verrons plus loin que ce nombre peut être réduit à 2.

J’en ai dit assez pour faire voir combien de problèmes mécaniques se ramènent à l’intégration d’un système canonique comportant 2 degrés de liberté et pour faire comprendre l’importance de ces systèmes ; il est donc inutile de multiplier davantage les exemples.

Premier théorème de Jacobi.

3.Jacobi a montré que l’intégration des équations canoniques

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\quad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$

se ramène à l’intégration d’une équation aux dérivées partielles

(2)

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\;y_{1},y_{2},\dots ,y_{p})=h_{1},$

où $h_{1}$ est une constante arbitraire et où $y_{1},y_{2},\dots ,y_{p}$ sont supposées représenter les dérivées partielles de la fonction inconnue.

Soit, en effet,

$\mathrm {S} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}\,;\;h_{1},h_{2},\dots ,h_{p})$

une solution de l’équation (2) contenant, outre la constante $h_{1}$,