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CHAPITRE XIX.
placer par des développements quelconques procédant suivant les
puissances des
Nous remplacerons donc
par
![{\displaystyle x_{i}^{0}=\mu \,\beta _{1.i}+\mu ^{2}\,\beta _{2.i}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6556fc4c171fa70429133d9186ec44183998adce)
les
étant des constantes quelconques. La fonction
à laquelle
conduit cette substitution satisfait comme
à l’équation (4) du no 120 ;
mais les
ne sont plus nulles et il est clair que l’on
peut choisir les arbitraires
de façon que les valeurs des
soient
tout à fait quelconques. La fonction ainsi obtenue est donc la
fonction
la plus générale.
Revenons à
cette fonction dépend des
constantes
mais,
d’autre part, les
moyens mouvements
sont aussi des fonctions
des
et inversement les
sont des fonctions des
de sorte
que nous pourrons considérer
comme dépendant de
constantes arbitraires
![{\displaystyle n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8bb1236d61c1eaf81a094770812eddb17a2ce4)
De quelle manière les fonctions
dépendent-elles de ces constantes ?
Chaque terme de
contient en facteur le sinus ou le
cosinus d’un angle de la forme
(les
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
entiers)
et le coefficient de ce sinus ou de ce cosinus est égal à une fonction
holomorphe des
divisée par un produit de facteurs de la forme
(les
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
entiers).
Ce sont des facteurs que l’on appelle les petits diviseurs.
En raisonnant comme nous l’avons fait au no 201, on verrait
qu’aucun des termes de
ne peut contenir plus de
petits
diviseurs au dénominateur.
Si l’un de ces petits diviseurs, par exemple
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02c64ba04c39ecf6acfa9ef33fcae1ec86ebc71)
était très petit, la convergence de la série
deviendrait illusoire ;
remplaçons alors comme au no 202 les constantes d’intégration ![{\displaystyle n_{i}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab16c6f7e82aa265920be1349206ebb9b65dd525)