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CHAPITRE VIII.
Je suppose que les
soient des fonctions connues de
et de
et de plus que ces fonctions soient développables en séries convergentes
suivant les puissances croissantes de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Soit
la somme des
premiers termes de la série
Je
dirai que les séries
satisfont formellement aux
équations différentielles (3), si, quand on substitue
![{\displaystyle \varphi _{p,1},\quad \varphi _{p,2},\quad \ldots ,\quad \varphi _{p,n},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3924426c2fb002184e9cd94ab8c9adaf0b5edae)
à la place de
![{\displaystyle x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1784d2a0758f83e0aceabead075d44d16c342437)
la différence
devient divisible par ![{\displaystyle \mu ^{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68271d08fdde676ea8f2581373a3dd102750f039)
Cette définition posée, voici ce que je me propose d’établir :
considérons une solution particulière des équations (3), à savoir
celle qui est telle que
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f430c93c24d917025573dca5d66497b71b763017)
pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\theta _{1}(t,\mu ),&x_{2}&=\theta _{2}(t,\mu ),&&\ldots ,&x_{n}&=\theta _{n}(t,\mu ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700ec2572ca668adcb98a22badeeec707f711fbc)
Je suppose que les fonctions
s’annulent toutes pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Je dis que l’on aura les égalités asymptotiques suivantes
(4)
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En effet, posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{p,1}+\mu ^{p+1}\xi _{1},&x_{2}&=\varphi _{p,2}+\mu ^{p+1}\xi _{2},&&\ldots ,&x_{n}&=\varphi _{p,n}+\mu ^{p+1}\xi _{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcd407ff34879a63cb04bb766e9266c839d1ff2)
Substituons ces valeurs des
dans les équations (3), ces équations
deviendront
![{\displaystyle \mu ^{p+1}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614532f9f84145f71cf26c968e670f50228fb187)
Après la substitution,
deviendra développable suivant les puissances
croissantes de
de
![{\displaystyle \mu ^{p+1}\xi _{1},\quad \mu ^{p+1}\xi _{2},\quad \cdots ,\quad \mu ^{p+1}\xi _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5068c33420c6de4b6b618a09fed992a46bb60614)
les coefficients du développement étant des fonctions connues du temps.