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CHAPITRE XVIII.
Ainsi la difficulté dont M. Gyldén se tire en faisant passer le
terme en
dans le premier membre est précisément la même dont
nous avons triomphé plus haut par les procédés du Chapitre XI.
Équation de la variation.
196.L’équation (5 a) du no 169, dite équation de la variation,
s’écrit
(1)
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étant une constante et
une suite de termes très petits que
nous supposerons dépendre seulement de ![{\displaystyle \chi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd732617efd911a348c98aed09f1c3494f01eb8a)
Posons alors
![{\displaystyle mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k=\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cdfc7fb55831e003ea02ccff32aa39b02742d4)
l’équation deviendra
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {A} }{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a26a43ba76e32bf95ea3207afd196fd7dfa282)
étant une fonction très petite de
et de
comme
est très
petit, je puis écrire
![{\displaystyle \mathrm {A} =\alpha \,m\,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617ae441130636e37ea511e6d29a47f179d400be)
étant un coefficient très petit, et me proposer de développer
suivant les puissances croissantes de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
On a donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =\alpha \,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422c2da7a87417af64d9721f9babf4ff9a5abbdd)
Sous cette forme on voit que l’équation (1) rentre comme cas
particulier dans la suivante
(2)
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et
étant des fonctions quelconques et
un coefficient très petit.
Il en est de même de l’équation (6 c) du no 169 qui peut s’écrire
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1+\alpha )-\mathrm {C} \rho ^{3}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6daabdae00187c54942ed6a2831550d93b4076c1)