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CHAPITRE XVI.
en
et écrire
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho -\mathrm {C} \rho ^{2}=\mathrm {B} -\mathrm {C} \rho ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92ad1e2b202512511020b1b3886a0a76f39469f)
ou
(6 c)
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et faire ensuite
![{\displaystyle \rho =\chi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344f497d36424ba9dfc6b50acedcdcf8748f6d6b)
dans le second membre.
3o Il est clair que
sera une fonction développable suivant les
sinus et cosinus des multiples de
et de
Soit alors
![{\displaystyle \mathrm {C} \sin(mv+nv'+k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1b05695a8b4ebc41db43429ff772347fe221cf)
un terme de
et
sont des entiers et
une constante. Remplaçons-y
par
et
par sa valeur approchée
exprimée
en fonction de
nous aurons évidemment
![{\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=v_{0}+\varphi ,\\v_{1}'&=\mu v_{0}+\varphi ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d614afbe6899d5f50d0de68911b94dba813f3e)
et
étant des séries développées suivant les sinus et cosinus
des multiples de
et de
et
étant le rapport des moyens
mouvements. Les termes complémentaires
et
seront d’ailleurs
beaucoup plus petits que les termes principaux
et ![{\displaystyle \mu v_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504f0961e50611e4efa212b5655bb0279281a595)
Alors l’expression
![{\displaystyle \mathrm {C} \sin(mv_{1}+nv_{1}'+k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78333a60faf9a614df5471617773aa48b9f1819a)
pourra également se développer en une série ordonnée suivant
les lignes trigonométriques des multiples de
et de
et le
terme principal du développement sera
![{\displaystyle \mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b3b5b8042d86ef9d49ae95c393f0acaf617e4b)
De même, si dans l’expression
![{\displaystyle \mathrm {C} \sin(mv+nv_{1}'+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed87fae4512ea944bd76d6f29e0e4405b7f8720)
nous remplaçons
et
par
![{\displaystyle v_{0}+\chi +\varphi \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626a105c6c3dc6e02513f3e467ec31624919e595)
et
![{\displaystyle \quad \mu v_{0}+\varphi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfeea860d75c46185216fb28cf1b6491db07689d)