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CHAPITRE II.
Quand
variera de 0 à
les rayons de convergence de ces
développements varieront également ; mais on pourra leur assigner
une limite inférieure. On pourra donc, d’après le no 20, trouver
deux nombres positifs
et
tels que, pour toutes les valeurs de
comprises entre 0 et
on ait
![{\displaystyle \varphi <\varphi ',\quad \psi <\psi '\quad (\mathrm {arg.} \;x,y,\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370d6aea638d3c6916d30a11534c32e66a683370)
en posant
![{\displaystyle \varphi '=\psi '={\frac {\mathrm {M} (x+y+\mu )[1+\alpha (x+y+\mu )]}{1-\alpha (x+y+\mu )}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2c3f9bdf2da86861c55ccfa02919a77d6ea9f7)
Formons alors les équations
(2 bis)
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Nous pouvons satisfaire à ces équations par des séries (3 bis)
de même forme que les séries (3), et qui satisfont formellement à
ces équations.
D’après le no 25, les séries (3) convergeront pourvu que les
séries (3 bis) convergent.
Or, si nous posons
![{\displaystyle x+y+\mu =\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcbcde621266982014ae1ae980caf37d2d0300f)
nos équations donnent
![{\displaystyle x=y={\frac {\mathrm {S} -\mu }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea5f08d5d913492800c377cb1c4dcc4e3610c9a)
et
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dt}}={\frac {2\mathrm {MS} (\mathrm {S} +1)}{1-\mathrm {S} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78fefb69f009f3c565d78b83d28694deb34fd27)
ou
![{\displaystyle 2\mathrm {M} \,dt={\frac {d\mathrm {S} }{\mathrm {S} }}-{\frac {2\,d\mathrm {S} }{\mathrm {S} +1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76af52b2f5ff816d2023d1d460b290b871225d0)
d’où, puisque
pour ![{\displaystyle t=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ff4c2b109c38fe7038da6238ae875f4d37e643)
![{\displaystyle 2\mathrm {M} t=\mathrm {L} {\frac {\mathrm {S} }{(\mathrm {S} +1)^{2}}}-\mathrm {L} {\frac {\mu }{(\mu +1)^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae59efdd2c0495867e391866761847c95848f731)
On vérifiera sans peine que
et, par conséquent,
et
peuvent
se développer suivant les puissances de
et que le développement
converge pour toutes les valeurs de
pourvu que
soit suffisam-