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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
24.Soient
(1)
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deux équations différentielles, où
et
sont des séries ordonnées,
suivant les puissances des fonctions inconnues
et
de la variable
et d’un paramètre arbitraire ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Il est aisé de vérifier qu’il existe deux séries
(2)
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ordonnées selon les puissances de
et de
s’annulant avec
et
qui, substituées dans les équations (1) à la place de
et de
d’après les règles ordinaires du calcul, satisfont formellement à
ces équations.
En cherchant à déterminer les coefficients de ces séries
et
par la méthode des coefficients indéterminés, on trouve qu’un coefficient
quelconque de
(ou de
) est un polynôme entier à coefficients
positifs par rapport aux divers coefficients de
et de
Considérons donc d’autres équations de même forme que (1)
(1 bis)
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et qui soient telles que
![{\displaystyle \varphi <\varphi ',\qquad \psi <\psi '\qquad (\mathrm {arg.} \;x,y,t,\mu )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df388e76b471d2ed37f4c8e0be3e6deea14950a)
si les séries
(2 bis)
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sont ordonnées suivant les puissances de
et de
s’annulent
avec
et satisfont formellement aux équations (1 bis) quand on les
substitue à la place de
et de
il est permis de conclure que
![{\displaystyle f\ll f',\quad f_{1}\ll f'_{1}\quad (\mathrm {arg.} \;t,\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cffc906931593d383b424f9f82549c8e58675cd)
25.Reprenons les équations (1) du numéro précédent ; supposons
que
et
soient développables suivant les puissances de