CHAPITRE II.
INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
Définitions et lemmes divers.
20.La méthode de Cauchy, pour démontrer l’existence de l’intégrale des équations différentielles, a été appliquée par d’autres géomètres à la démonstration d’un grand nombre de théorèmes. Comme cette méthode et ces théorèmes nous seront utiles dans la suite, je suis forcé d’y consacrer un Chapitre préliminaire. Pour cette exposition, je ferai usage d’une notation que j’ai déjà introduite dans un autre Mémoire et qui m’évitera des longueurs et des redites.
Soient et deux séries développées suivant les puissances croissantes de et de supposons que chacun des coefficients de la série soit réel et positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient correspondant de la série : nous écrirons alors
ou, s’il est nécessaire de mettre en évidence les variables par rapport auxquelles se fait le développement,
On voit sans peine que, si est une série qui converge pour certaines valeurs de et de (représentant, par conséquent, une fonction de et de holomorphe pour ), on pourra toujours trouver deux nombres réels et positifs et tels que
