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CHAPITRE VII.
degré au moins par rapport aux
et dont les coefficients sont des
fonctions périodiques de
De plus, les
doivent être des fonctions
périodiques de
et les termes du premier degré en
dans
et
doivent se réduire à
0, 0 et 0.
Ces équations (14) sont analogues aux équations (2′′) du no 105.
On trouve en effet
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \mathrm {X} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {S} _{i}\,+\Theta _{2}\mathrm {S} _{i}'\,+\Theta _{3}\mathrm {S} _{i}''\,+\Theta _{4}\mathrm {S} _{i}''',\\\alpha \mathrm {Z} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {T} _{i}+\Theta _{2}\mathrm {T} _{i}'+\Theta _{3}\mathrm {T} _{i}''+\Theta _{4}\mathrm {T} _{i}''',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d6eec1eb7c9b47ffd34bc8f1323c40e8176ff0)
ce qui nous donne quatre équations d’où l’on peut tirer les quatre fonctions
puisque les
les
les
et les
sont des fonctions connues. Je dis qu’on trouvera
![{\displaystyle \Theta _{i}=\mathrm {U} _{i,1}\mathrm {X} _{1}'+\mathrm {U} _{i,2}\mathrm {X} _{2}'+\mathrm {U} _{i,3}\mathrm {Z} _{1}'+\mathrm {U} _{i,4}\mathrm {Z} _{2}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f007f1a9749042dd954674451c89024eb687b221)
les
étant des fonctions périodiques de
développables suivant
les puissances croissantes et positives de
Il suffit en effet, pour
cela, que le déterminant
![{\displaystyle \Delta =\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'''\\{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'''\\\mathrm {T} _{1}&\mathrm {T} _{1}'&\mathrm {T} _{1}''&\mathrm {T} _{1}'''\\\mathrm {T} _{2}&\mathrm {T} _{2}'&\mathrm {T} _{2}''&\mathrm {T} _{2}'''\\\end{array}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e24229ec4d97e417f7a0021b4a045cd99da56f)
ne soit pas divisible par
c’est-à-dire ne s’annule pas pour ![{\displaystyle \alpha =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccefb075eb872b58821421eb59741512b87f54f7)
Pour
se réduit à la quantité que nous avons appelée
au no 79 et
à
et ces quantités satisfont aux équations (9) et (10) de ce no 79.
Ici nous développons non suivant les puissances de
mais
suivant celles de
de sorte que la quantité que nous avions
[13]appelée
dans le no 79 est égale à 1. Les équations (9) du no 79
vont donc s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{i}&={\frac {\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}+{\frac {\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}}{\alpha }},\\{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }}&=b_{i\,1}\mathrm {T} _{1}+b_{i\,2}\mathrm {T} _{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22037643cc4261cd5fa1700f8ba067366cab482)
et elles devront être satisfaites pour ![{\displaystyle \alpha =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccefb075eb872b58821421eb59741512b87f54f7)