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CHAPITRE VII.
et il viendra
![{\displaystyle {\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CA} ^{q}\,e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6865195d881e9e8bd4650a1209d6dde5bdcfca2d)
Or on peut satisfaire à cette équation en faisant
![{\displaystyle \eta _{i}^{q}=\sum {\frac {\mathrm {CA} ^{q}e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b2a8c589a636d7ae4b001da34472578b11013c)
Il y aurait exception dans le cas où l’on aurait
![{\displaystyle \gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d7521f65844e98114bed1e7f2c3e42e8d7febc)
auquel cas il s’introduirait dans les formules des termes en
Nous réserverons ce cas, qui ne se présente pas en général.
Convergence des séries.
105.Nous devons maintenant traiter la question de la convergence
de ces séries. La seule difficulté provient d’ailleurs, comme
on va le voir, des diviseurs
(5)
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Remplaçons les équations (2′) par les suivantes
(2′′)
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Définissons
On voit sans peine que
est de la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {c} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714800e1db923c60517c5f5e0f594bc235d86609)
est une constante quelconque, les
sont des entiers positifs
dont la somme est
est un entier positif ou négatif. Nous
prendrons alors
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}={\textstyle \sum }\,|\mathrm {C} |\,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \,\eta _{n}^{\beta _{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a9c025b9340fce3e20748eda87e4ec3bb5db8a)
Les séries ainsi obtenues seront convergentes pourvu que les
séries trigonométriques qui définissent les fonctions périodiques
dont dépendent les
convergent absolument et uniformément ;