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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
stante ; mais comme
doit être une
fonction périodique, cette constante doit être nulle, de sorte qu’on a
(9)
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ce qui établit trois relations entre les trois constantes
les trois
constantes
et la quantité inconnue ![{\displaystyle \alpha _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c070a9483001b49a22f95b117c8ae45ddf1c95)
De son côté, l’équation (8) s’écrira
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{i}^{2}}{dt}}+\alpha _{1}\mathrm {S} _{i}^{1}={\textstyle \sum }_{k}\mathrm {B} _{ik}^{2}\eta _{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c35c6d14aabcc8015a16859ec99c35eac7b193)
Les
sont des fonctions périodiques de
développons-les
d’après la formule de Fourier et soit
le terme tout connu de
Il viendra
![{\displaystyle \alpha _{1}\mathrm {S} _{i}^{1}={\textstyle \sum }_{k}b_{ik}\eta _{i}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f87b6af564dd3336d2c420e528914c12cac8a6)
ou, en tenant compte des équations (9),
(10)
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En faisant dans cette équation (10)
et
nous aurons trois
relations linéaires et homogènes entre les trois constantes
En
éliminant ces trois constantes, nous aurons alors une équation du
troisième degré qui déterminera ![{\displaystyle \alpha _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c3d1a4d99c8b1929fe114a2cf8222d8a1a3ea8)
Si nous posons, pour abréger,
![{\displaystyle e_{ik}=b_{i1}\mathrm {C} _{1k}^{0}+b_{i2}\mathrm {C} _{2k}^{0}+b_{i3}\mathrm {C} _{3k}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8651a77279a149512644e82bc0a7a1e76f4cdf)
l’équation due à cette élimination s’écrira
(11)
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Elle peut encore s’écrire
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccccc}-\alpha _{1}&0&0&\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{1\,2}^{0}&\mathrm {C} _{1\,3}^{0}\\0&-\alpha _{1}&0&\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}&\mathrm {C} _{2\,3}^{0}\\0&0&-\alpha _{1}&\mathrm {C} _{3\,1}^{0}&\mathrm {C} _{3\,2}^{0}&\mathrm {C} _{3\,3}^{0}\\b_{1\,1}&b_{1\,2}&b_{1\,3}&-\alpha _{1}&0&0\\b_{2\,1}&b_{2\,2}&b_{2\,3}&0&-\alpha _{1}&0\\b_{3\,1}&b_{3\,2}&b_{3\,3}&0&0&-\alpha _{1}\\\end{array}}\right|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71e881debb906fbe1ae1357d176b95f0b754764)