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CHAPITRE III.
Cela posé, imaginons que nous ayons déterminé par un calcul
préalable
(2)
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et, par conséquent aussi,
et que nous nous
proposions de calculer
et ![{\displaystyle [y_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee96c10e1ac3b0d97b37b730b0e49ea0262078bc)
La relation
peut s’écrire
![{\displaystyle [\theta _{n}]+[f_{1}\eta _{n}]+[f_{1}][y_{n}]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daccdd0debdc67fac3937b06c629c22da2d6292)
Dans cette équation
et
peuvent être regardés comme
connus, puisque les quantités (2) sont connues ;
est une
constante donnée ; on peut donc en tirer ![{\displaystyle [y_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee96c10e1ac3b0d97b37b730b0e49ea0262078bc)
On a ensuite
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y_{n+1}}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\eta _{n+1}}{dx^{2}}}=\varphi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4a80601898750ecd8c8b09740269f57731e7ac)
Si je pose
![{\displaystyle \varphi _{n}=\sum _{m=1}^{\infty }\mathrm {A} _{m}\cos {mx}+\sum _{m=1}^{\infty }\mathrm {B} _{m}\sin {mx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eeca4021e24349be7881d8f00b20b742d7622f9)
il viendra
![{\displaystyle \eta _{n+1}=-\sum {\frac {\mathrm {A} _{m}}{m^{2}}}\cos {mx}-\sum {\frac {\mathrm {B} _{m}}{m^{2}}}\sin {mx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2109f7a57e780bd040afe6ecad39fb44fad12993)
Les
les
et les
peuvent donc se calculer de la sorte par
récurrence.
Il résulte de là que, si
est une fonction périodique de
telle
que l’on ait, en reprenant la notation du no 20, complétée au no 35,
![{\displaystyle \varphi _{n}\ll \psi ,\quad (\arg {e^{\pm ix}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4f2fbedc91f7612ca20e35b1c0dd13c9c923ce)
on aura a fortiori
![{\displaystyle \eta _{n+1}\ll \psi ,\quad (\arg {e^{\pm ix}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4bb614f8253cc374b96ec2da075cc3e06f6e00)
Nous écrirons dans ce qui va suivre
![{\displaystyle \theta =f-f_{0}-f_{1}y=f_{2}y_{2}+f_{3}y_{3}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ec926650c479339187a1bb10e010ca15431688)
de telle sorte que
![{\displaystyle \mu (\theta y_{1}+\mu ^{2}y_{2}+\mu ^{3}y_{3}+\dots )=\theta _{2}\mu ^{2}+\theta _{3}\mu ^{3}+\dots +\theta _{n}\mu ^{n}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a57e857134327eb7cf228854b7af97d4c8324bc)