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INTEGRATION PAR LES SÉRIES.

Nouvelles définitions.

35.Je ne parlerai pas pour le moment, afin de pas trop allonger ces préliminaires, de l’application des méthodes de Cauchy aux équations aux dérivées partielles, bien que je me réserve de revenir plus tard sur cette question.

Je terminerai ce Chapitre en donnant une nouvelle extension à la notation $\ll$ du n^o 20.

Soient $\varphi (x,y,t),\;\psi (x,y,t)$ deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de $x$ et de $y,$ de telle façon que les coefficients soient des fonctions périodiques de $t,$ développées suivant le sinus ou le cosinus des multiples de $t$ ou, ce qui revient au même, suivant les puissances positives et négatives de $e^{it}.$

Considérons donc le développement de $\varphi$ et de $\psi$ suivant les puissances de $x,$ $y$ et $e^{it}\,;$ si chaque coefficient de $\psi$ est réel, positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient correspondant de $\varphi ,$ nous écrirons

$\varphi \ll \psi \quad (\mathrm {arg.} \;x,y,e^{\pm it})\cdot$

Si la série $\psi$ est convergente pour

$x=|x_{0}|,\qquad y=|y_{0}|,\qquad t=0,$

la série $\varphi$ convergera pour

$x=x_{0},\qquad y=y_{0},\qquad t=$ quantité réelle quelconque.

J’ajoute qu’il suffit que la série $\psi$ converge quand $t=0$ pour qu’elle converge quel que soit $t.$

Si la série $\varphi (x,y,t)$ converge et si elle représente une fonction analytique, il résulte de ce que nous avons vu au numéro précédent que la convergence est absolue et uniforme.

On peut donc trouver une constante $\alpha$ réelle et positive et une fonction $\mathrm {M}$ de $t,$ périodiques et de période $2\pi ,$ qui soient telles :

1^o Que le développement de $\mathrm {M} ,$ suivant les puissances positives et négatives de $e^{it},$ ait tous ses coefficients réels et positifs ;

2^o Que l’on ait

$\varphi \ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (x+y)}}\quad (\mathrm {arg.} \;x,y,e^{\pm it}).$