Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie élémentaire, article 6

Démonstration d’un autre théorème sur le triangle ; par M. Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 88-89).

Théorème de M. Gergonne.

Si, par les extrémités $\mathrm {A,B}$ de la base $\mathrm {AB}$ d’un triangle quelconque $\mathrm {ACB}$ (fig. 8), on mène vers son sommet des droites de longueur arbitraire $\mathrm {AP}$ et $\mathrm {BQ,}$ respectivement parallèles aux côtés $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {CA} \,;$ que par les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ on mène, parallèlement à $\mathrm {BQ}$ et $\mathrm {AP,}$ des droites concourant en $\mathrm {D} \,;$ les trois droites $\mathrm {AQ,BP}$ et $\mathrm {DC}$ concourront en un même point.

Démonstration. Nous démontrerons ce théorème à l’aide de la géométrie analitique, parce que c’est ainsi qu’après en avoir pressenti la vérité, nous nous le sommes démontré à nous-même, et parce qu’à tout prendre, cette forme de démonstration en vaut bien une autre.

Soient faits $\mathrm {CA} =a,\ \mathrm {CB} =b,\ \mathrm {AP} =q,\ \mathrm {BQ} =p.$ Soit pris l’angle $\mathrm {ACB}$ pour angle des coordonnées positives, de manière que l’axe des $x$ soit dirigé suivant $\mathrm {CA,}$ et l’axe des $y$ suivant $\mathrm {CB} \,;$ les équations des divers points que nous venons de considérer seront

Pour C$\left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\qquad$Pour A$\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\qquad$Pour B$\left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.$

Pour P$\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=-q\,;\end{aligned}}\right.\quad$Pour Q$\left\{{\begin{aligned}&x=-p,\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.\quad$Pour D$\left\{{\begin{aligned}&x=-p,\\&y=-q\,;\end{aligned}}\right.$

Les équations des trois droites $\mathrm {AQ,BP,CD}$ seront conséquemment

Pour AQ,$\qquad (a+p)y+b(x-a)=0,$

Pour BP,$\ \qquad (b+q)x+a(y-b)=0,$

Pour CD,$\qquad \qquad py-qx=0.$

Or, en prenant la différence des deux premières, on tombe sur la troisième ; donc chacune de ces équations est comportée par les deux autres ; et par conséquent elles expriment trois droites concourant au même point.

Et comme, en variant à volonté les signes de $p$ et $q,$ il en irait encore de même, il en faut conclure que les droites $\mathrm {AP}$ et $\mathrm {BQ}$ peuvent être indistinctement menées de côté ou d’autre de la base du triangle, sans que le théorème cesse pour cela d’avoir lieu.

Pour passer de là au théorème de M. Hamett, il suffira de supposer, 1.^o que le triangle est rectangle en $\mathrm {C} \,;$ 2.^o que l’on a pris les longueurs arbitraires $p=b$ et $q=a.$