Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/11

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 80-86).

CHAPITRE XI.

CONSTRUCTION DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES.

55. On a déjà donné au n^o 15 une idée de la construction des tables trigonométriques. Il s’agit maintenant de traiter avec les développements convenables ce qui avait seulement été indiqué.

1^o Tout arc inférieur au quadrant est plus grand que son sinus et plus petit que sa tangente.

En effet, soit l’arc AM (fig. 20). Prolongeons son sinus MP jusqu’en N ; menons de l’extrémité T de sa tangente TA la droite TI tangente à la

Fig. 20.

circonférence. L’arc AMI sera égal à l’arc MAN, et on aura

$\mathrm {MAN>MP+PN}$xxetxx$\mathrm {AMI<AT+TI}$,

et, en prenant la moitié des deux membres,

$\mathrm {AM>MP}$xxetxx$\mathrm {AM<AT}$.

2^o Le rapport entre un arc plus petit que le quadrant et son sinus diminue en même temps que l’arc, et tend vers 1 à mesure que l’arc tend vers 0°.

En effet, soit a un arc < 90° ; nous aurons $a>\sin a$ et $a<\operatorname {tang} a$, ce qu’on peut écrire ainsi :

$\sin a<a<{\frac {\sin a}{\cos a}}$.

Divisant tous les termes par $\sin a$, on obtient

$1<{\frac {a}{\sin a}}<{\frac {1}{\cos a}}$.

Le rapport ${\frac {a}{\sin a}}$ est donc compris entre 1 et la quantité variable ${\frac {1}{\cos a}}$, qui est plus grande que 1, mais qui diminue avec l’arc, puisqu’alors $\cos a$ augmente. De plus, ${\frac {1}{\cos a}}$ s’approche indéfiniment de 1 à mesure que l’arc tend à se réduire à 0°.

Ainsi, à la limite, le rapport ${\frac {a}{\sin a}}$ est compris entre 1 et 1, ce qui revient à dire que l’arc et son sinus diffèrent de moins en moins à mesure que l’arc diminue, et qu’un arc infiniment petit est rigoureusement égal à son sinus.

D’après cela, si l’on calcule la longueur d’un arc très-petit, de $10^{\prime \prime }$par exemple (le rayon étant pris pour unité), cette longueur sera à très-peu près la valeur de $\sin 10^{\prime \prime }$ ; or on a

$\mathrm {arc} \;180^{\circ }=\pi =3{,}141592653589793\ldots$

$\mathrm {arc} \;1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}$,xxx$\mathrm {arc} \;1^{\prime }={\frac {\pi }{180\times 60}}$,xxx$\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime }={\frac {\pi }{180\times 60\times 6}}$,

$\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime }={\frac {\pi }{64800}}=0{,}000048481368110\ldots$

On trouve donc

$\sin 10^{\prime \prime }=0{,}000048481368110\ldots$

3^o Cherchons maintenant le degré d’approximation de cette valeur. De $a<{\frac {\sin a}{\cos a}}$ on tire $a\cos a<\sin a$ ; la multiplication des deux membres par $2\cos a$ donne

$2a\cos ^{2}a<2\sin a\cos a$ ou $2a(1-\sin ^{2}a)<\sin 2a$.

Effectuant la multiplication et transposant les termes, on obtient

$2a-\sin 2a<2a\sin ^{2}a$,

et, à plus forte raison, en remplaçant le sinus par l’arc dans le second membre,

$2a-\sin 2a<2a\times a^{2}$.

Désignant, pour plus de simplicité, l’arc 2a par b, nous aurons

$b-\sin b<{\frac {b^{3}}{4}}$;

donc la différence entre un arc et son sinus est moindre que le quart du cube de l’arc.

Or on a

$\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime }<0{,}00005$,

$\;(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{3}<\;0{,}00005^{3}$ xxouxx$<0{,}00000\,00000\,00125$,
${\frac {(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{3}}{4}}<{\frac {0{,}00005^{3}}{4}}$xxouxx$<0{,}00000\,00000\,00032$,

c’est-à-dire que le quart du cube de l’arc de $10^{\prime \prime }$ est moindre que 1 unité décimale du 13^e ordre.

Ainsi la différence entre l’arc de $10^{\prime \prime }$ et son sinus ne commence qu’au-delà du 13^e chiffre décimal, et par conséquent on a

$\sin 10^{\prime \prime }=0,0000484813681$,

valeur approchée par excès avec une erreur moindre que 1 unité du 13^e ordre décimal.

56. Le calcul de $\cos 10^{\prime \prime }$ pourrait se tirer de

$\cos 10^{\prime \prime }={\sqrt {1-\sin ^{2}10^{\prime \prime }}}$ ;

mais la marche suivante est préférable.

De $\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}$,xx on tire xx$\cos a=1-2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$.

Comme pour un arc très-petit $\sin {\frac {a}{2}}$, diffère peu de ${\frac {a}{2}}$, on aura une valeur très-approchée pour $\cos 10^{\prime \prime }$, en prenant

$\cos 10^{\prime \prime }=1-2{\frac {(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{2}}{4}}=1-{\frac {(\mathrm {arc} \;10^{\prime \prime })^{2}}{2}}$.

Cherchons une limite supérieure de l’erreur. On a
valeur exacte                                  $\cos a=1-2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$,
valeur approchée par défaut          $\cos a=1-2{\frac {a^{2}}{4}}$.

En désignant par e leur différence, on trouve

$e=2\left({\frac {a^{2}}{4}}-\sin ^{2}{\frac {a}{2}}\right)=2\left({\frac {a}{2}}+\sin {\frac {a}{2}}\right)\ \left({\frac {a}{2}}-\sin {\frac {a}{2}}\right)$.

et en remplaçant ${\frac {a}{2}}+\sin {\frac {a}{2}}$x parx ${\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}$, quantité plus grande, on a

$e<2a\left({\frac {a}{2}}-\sin {\frac {a}{2}}\right)$.

De plus, la différence ${\frac {a}{2}}-\sin {\frac {a}{2}}$ est moindre que le quart de ${\frac {a^{3}}{8}}$ on aura donc à plus forte raison

$e<2a{\frac {a^{3}}{8\times 4}}$xxouxx$e<{\frac {a^{4}}{16}}$.

Ainsi, en prenant pour le cosinus d’un arc l’excès de 1 sur la moitié du carré de cet arc, on commet une erreur moindre que la 16^e partie de la 4^e puissance de cet arc.

Or l’arc de $10^{\prime \prime }$ étant moindre que $0{,}00005$, on trouve
                              $(\mathrm {arc} 10^{\prime \prime })^{4}<625$ unités du 20^e ordre décimal,
                         ${\frac {1}{16}}(\mathrm {arc} 10^{\prime \prime })^{4}<\ \ \ \;1$ unités du 18^e ordre décimal.

Cette méthode fournit donc la valeur de $\cos 10^{\prime \prime }$ avec 18 chiffres décimaux exacts.

Pour effectuer le calcul, on doit d’abord chercher le carré de l’arc de $10^{\prime \prime }$ avec 18 chiffres décimaux par la multiplication abrégée. On obtient
                    ${\begin{aligned}(\mathrm {arc\,10^{\prime \prime }} )^{2}&=0{,}00000\,00023\,50443\,054,\\{\frac {1}{2}}(\mathrm {arc\,10^{\prime \prime }} )^{2}&=0{,}00000\,00011\,75221\,527,\\\cos 10^{\prime \prime }=1-{\frac {1}{2}}(\mathrm {arc\,10^{\prime \prime }} )^{2}&=0{,}99999\,99988\,24778\,473,\\\end{aligned}}$
ou, en se bornant aux treize premières décimales comme pour le sinus,

$\cos 10^{\prime \prime }=0{,}99999\,99988\,248$.

57. Les sinus et cosinus de $20^{\prime \prime }$,$30^{\prime \prime }$,… pourraient être tirés des égalités
          $\sin 20^{\prime \prime }=2\sin 10^{\prime \prime }\cos 10^{\prime \prime },\ \cos 20^{\prime \prime }=\cos ^{2}10^{\prime \prime }-\sin ^{2}10^{\prime \prime }$,
          $\sin 30^{\prime \prime }=\sin(20^{\prime \prime }+10^{\prime \prime })=\sin 20^{\prime \prime }\cos 10^{\prime \prime }+\sin 10^{\prime \prime }\cos 20^{\prime \prime }$,
          $\cos 30^{\prime \prime }=\cos(20^{\prime \prime }+10^{\prime \prime })=\cos 20^{\prime \prime }\cos 10^{\prime \prime }-\sin 20^{\prime \prime }\sin 10^{\prime \prime }$,

et ainsi de suite. Mais Th. Simpson, mathématicien anglais du xviii^e siècle, observant que les arcs dont on cherche les sinus et cosinus forment une progression par différence, a simplifié le calcul de la manière suivante. Prenons les formules du n^o 38
                    $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b,$
                    $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$.

Les trois arcs $a+b,\;a$ et $a-b$ forment une progression par différence, dont la raison est b. En écrivant les termes dans l’ordre de ces arcs, et faisant $b=10^{\prime \prime }$, on a

xxxx(27)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+10^{\prime \prime })=\sin a\times 2\cos 10^{\prime \prime }-\sin(a-10^{\prime \prime })$,

$\cos(a+10^{\prime \prime })=\cos a\times 2\cos 10^{\prime \prime }-\cos(a-10^{\prime \prime })$.

Telles sont les formules de Th. Simpson. On y remplace successivement a par $10^{\prime \prime },\,20^{\prime \prime },\,30^{\prime \prime },\ldots$ en ayant soin dans ces calculs de déterminer le degré d’approximation de chaque résultat^[1].

58. Ces calculs peuvent encore être abrégés. En effet, soit k la différence très-petite qui existe entre $2$ et $2\cos 10^{\prime \prime }$, on aura

$k=2-2\cos 10^{\prime \prime }=0{,}00000\,00023\,504$,
$2\cos 10^{\prime \prime }=2-k$.

Remplaçant $2\cos 10^{\prime \prime }$ par $2-k$ dans les égalités (27), et transposant, on obtient

xxxx(28)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+10^{\prime \prime })-\sin a=\sin a-\sin(a-10^{\prime \prime })-k\sin a,$

$\cos(a+10^{\prime \prime })-\cos a=\cos a-\cos(a-10^{\prime \prime })-k\cos a$.

Faisant ensuite $a=10^{\prime \prime },\;20^{\prime \prime },\;30^{\prime \prime },\ldots ,$ on trouve

                    ${\begin{aligned}\sin 20^{\prime \prime }-\sin 10^{\prime \prime }&=\sin 10^{\prime \prime }-k\sin 10^{\prime \prime },\\\cos 20^{\prime \prime }-\cos 10^{\prime \prime }&=\cos 10^{\prime \prime }-1-k\cos 10^{\prime \prime };\\\sin 30^{\prime \prime }-\sin 20^{\prime \prime }&=(\sin 20^{\prime \prime }-\sin 10^{\prime \prime })-k\sin 10^{\prime \prime },\\\cos 30^{\prime \prime }-\cos 20^{\prime \prime }&=(\cos 20^{\prime \prime }-\cos 10^{\prime \prime })-k\cos 10^{\prime \prime },\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

On voit par là qu’en retranchant $k\sin 10^{\prime \prime }$ de $\sin 10^{\prime \prime }$, on obtient la différence qu’il y a entre $\sin 20^{\prime \prime }$ et $\sin 10^{\prime \prime }$ ; il suffira d’ajouter $\sin 10^{\prime \prime }$ à cette différence pour avoir $\sin 20^{\prime \prime }$.

En retranchant $k\sin 10^{\prime \prime }$ de la différence $\sin 20^{\prime \prime }-\sin 10^{\prime \prime }$, comme par le calcul précédent, on obtient la différence qu’il y a entre $\sin 30^{\prime \prime }$ et $\sin 20^{\prime \prime }$ ; il suffit donc d’ajouter $\sin 20^{\prime \prime }$ à cette différence pour avoir $\sin 30^{\prime \prime }$, et ainsi de suite. On opèrera de la même manière pour les cosinus.

On prend la précaution de former d’avance les produits de k par chacun des neuf chiffres significatifs.

59. Des erreurs étant à craindre dans des opérations aussi étendues, il est important d’avoir des moyens de vérification. Or on peut calculer directement les sinus et cosinus de certains arcs (n^o 7) ; il suffira donc de comparer aux valeurs ainsi obtenues celles qu’aura fournies le calcul précédent. Par exemple, on cherche les sinus et cosinus des arcs de 9° en 9°. On a d’abord (n^o 7)

$\sin 18^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$.

$\cos 18^{\circ }={\sqrt {1-\sin ^{2}18^{\circ }}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$.

Les formules (10) donnent

                                             $\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$,

                                             $\cos 36^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)$.

Pour connaître $\sin 9^{\circ }$ et $\cos 9^{\circ }$, on pourrait employer les formules (11) ; mais on obtiendra des résultats plus simples en les cherchant en fonction de $\sin 18^{\circ }$ au moyen des formules (34) données plus loin au n^o 65. De cette manière, on trouve
                                        $\sin 9^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}$,

                                        $\cos 9^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}$.

Comme $\sin 54^{\circ }$ est égal à $\cos 36^{\circ }$, et que 27° est la moitié de 54°, on aura par ces mêmes formules

                                        $\sin 27^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}$,

                                        $\cos 27^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}$ ;
on a aussi

$\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$.

En effectuant les opérations indiquées, on obtiendra les valeurs de ces sinus et cosinus avec une approximation aussi grande qu’on voudra.

C’est ainsi qu’ont d’abord été calculées les premières tables trigonométriques. Depuis, on a trouvé des méthodes plus expéditives ; mais elles sont fondées sur des principes qui n’appartiennent pas aux mathématiques élémentaires.

1. Voir mon Traité élémentaire des approximations numériques.