CHAPITRE X.
De l’emploi des fonctions dérivées dans l’analyse et de la détermination des constantes arbitraires. Application à la sommation des suites et à la résolution des équations du troisième degré.
64. Par les principes que nous venons d’établir à l’égard des constantes arbitraires, on voit que ces constantes forment la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées ; celles-ci sont par elles-mêmes plus générales que les équations d’où elles dérivent, à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu ; elles équivalent proprement à toutes les équations primitives qui ne différeraient entre elles que par les valeurs de ces constantes.
On peut donc toujours passer d’une équation regardée comme primitive à une de ses dérivées d’un ordre quelconque, et réciproquement revenir de celle-ci à celle-là, pourvu que cette dernière opération introduise toujours des constantes arbitraires et qu’on ait soin de déterminer ces constantes d’une manière conforme à l’équation primitive, comme nous en avons déjà donné des exemples (nos 49 et suivants). Avec cette attention, on pourra employer dans l’Analyse les opérations relatives aux fonctions, comme on y emploie les opérations ordinaires d’Algèbre.
Ainsi, ayant une équation en
et
on pourra immédiatement en déduire des équations dérivées d’un ordre quelconque ; mais, pour revenir de celles-ci à une équation en
et
il faudra tenir compte des constantes arbitraires et les déterminer de manière que les valeurs de
et de ses dérivées
soient les mêmes pour une valeur donnée de
comme
que celles qui résultent de l’équation donnée.
Si l’équation proposée n’était que du premier ordre en
alors, cette équation ne pouvant fournir que les valeurs de
en
et
ces valeurs, pour
contiendraient la valeur indéterminée de
par conséquent, les constantes arbitraires dépendraient alors de cette valeur, qui serait elle-même une constante arbitraire_1, de sorte que, dans ce cas, toutes les constantes arbitraires se réduiraient à une seule. Elles se réduiraient à deux, par la même raison, si l’équation proposée était du second ordre en
et
et ainsi de suite.
65. Pour faire mieux sentir l’esprit et l’usage de ces opérations, nous allons les appliquer encore à quelques exemples qui serviront en même temps d’exercice de calcul.
Soit proposée la série
![{\displaystyle 1+{\frac {m}{n}}x+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{2}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)(n+2)}}x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7782c3803273fe68f2ef5bf0cade98635bcf9c)
dont on demande la somme.
Supposons-la égale à
en sorte qu’on ait une équation en
et
je multiplie cette équation par
ce qui donne
![{\displaystyle yx^{n-1}=x^{n-1}+{\frac {m}{n}}x^{n}+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{n+1}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5641a6215c43d1e425af4edb3d5a5a412232d86f)
Je prends les fonctions primes de tous les termes ; j’ai
![{\displaystyle y'x^{n-1}+(n-1)yx^{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bc3b0ab4c1074e339de8da94b382c9e6392945)
![{\displaystyle =(n-1)x^{n-2}+mx^{n-1}+{\frac {m(m+1)}{n}}x^{n}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)}}x^{n+1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec225b0106856c59ce3ef8f4709035380145425)
où l’on voit qu’il a disparu un facteur du dénominateur de chaque terme.
Je multiplie maintenant l’équation précédente par
j’ai celle-ci
![{\displaystyle y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617172437b6a7641acdf8045c2241c6c6b9c1678)
![{\displaystyle =(n-1)x^{m-2}+mx^{m-1}+{\frac {m(m+1)}{n}}x^{m}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)}}x^{m+1}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e6121586a32585e4c03cb186944db75458c586)
Je fais le premier membre égal à
![{\displaystyle p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e623e3163571a220ed60ecb31aa78c24104b85)
étant la fonction prime de
![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
et je prends l’équation primitive ; j’ai
![{\displaystyle p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}+{\frac {m}{n}}x^{m+1}+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{m+2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62fc9821cf19b3849d6847a862878daa7f8c71b4)
Je n’ajoute point de constante arbitraire ici, parce qu’elle peut être censée renfermée dans ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Maintenant, en comparant cette nouvelle série avec la proposée, qu’on a supposée égale à
il est visible qu’on aura l’équation
![{\displaystyle p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347d516751daa23b940734e589b4a86ce04a5310)
prenant les fonctions primes, et substituant pour
sa valeur
on aura cette équation du premier ordre linéaire en ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle (n-1)x^{m-2}+y'x^{m}+mx^{m-1}y=y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d6dad993843a87d5d3c4707e9ffcf720eb1372)
laquelle se réduit à cette forme
![{\displaystyle y'+{\frac {n-1-mx}{x(1-x)}}y={\frac {n-1}{x(1-x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f3b0e2e28e7c8e3164c5e3f064e461f1efaaca)
Cette équation étant susceptible de la méthode du no 55, on pourra donc trouver la valeur
en
qui sera, par conséquent, la somme de la série proposée ; mais cette valeur devra contenir une constante arbitraire, qu’on déterminera de manière que
soit égal à
lorsque
comme il résulte de la série donnée.
Si la série n’avait contenu que des facteurs simples, comme
![{\displaystyle 1+{\frac {m}{n}}x+{\frac {m+1}{n+1}}x^{2}+{\frac {m+2}{n+2}}x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509231c403d6e28d9c3cc840a05ba38ef42102ae)
on eût trouvé, par les mêmes opérations,
![{\displaystyle p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}+x^{m+1}+x^{m+2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944bcfd93c42e25d0b3aedebbde3627f05d70d7d)
Or on sait que
![{\displaystyle 1+x+x^{2}+\ldots ={\frac {1}{1-x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa9727c3e4f4fb1974b29f7ea99679da45758fb)
donc on aurait, dans ce cas,
![{\displaystyle p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+{\frac {x^{m}}{1-x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee2b9ed0f16684e4673dcf9c7981a2c213dc220)
prenant les fonctions primes et substituant la valeur de
on aurait
![{\displaystyle y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2}=(n-1)x^{m-2}+{\frac {mx^{m-1}}{1-x}}+{\frac {x^{m}}{(1-x)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1cd8a480c9e981656094ffecb3319cabfc570a)
savoir
![{\displaystyle y'+{\frac {(n-1)y}{x}}={\frac {n-1}{x}}+{\frac {m}{1-x}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52358ce95bc299823e7b54a40536b67defa45f7b)
équation également linéaire du premier ordre.
Cette méthode s’applique à des séries plus compliquées et peut conduire à des équations linéaires d’un ordre supérieur au premier. J’ai cru devoir au moins l’indiquer, étant presque la seule méthode générale pour la sommation des suites.
66. Soit maintenant proposée l’équation
![{\displaystyle y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+x^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b368b6a7cd4b0df9e1bb557faf694ff64dcf7b8)
dans laquelle on demande l’expression de
en
Cette expression peut s’obtenir par la formule connue pour la résolution des équations du troisième degré. Voici comment on y peut parvenir par la théorie des fonctions.
En prenant les fonctions primes et secondes, on aura
![{\displaystyle y'=\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3x^{2},\quad y''=2\mathrm {B} +6x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e87b1d3c202f0e4e35889ebfb202ef198ae0a5a)
si donc je forme la quantité
![{\displaystyle y+(m+nx)y'+\left(p+qx+rx^{2}\right)y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be5b0b3c5f84722b2e18784d94a9381a21387bc)
où
sont des coefficients arbitraires, j’aurai un quadrinôme
qui contiendra les puissances
![{\displaystyle x,x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b164761a6b85314206c2aaeddb32bde6ef13474)
et
![{\displaystyle x^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abf55945ce90c43c4489cadcbe9933e434e592d)
et je pourrai faire évanouir les termes multipliés par chacune de ces puissances ; j’aurai ainsi une équation du second ordre de la forme
![{\displaystyle y+(m+nx)y'+\left(p+qx+rx^{2}\right)y''=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7300b6a026fd6990d5e5b0b0fc42bf0c460467)
où
sera une quantité constante ; et cette équation renfermera encore deux coefficients indéterminés.
Je pourrai donc encore faire en sorte qu’étant multipliée par
elle ait une équation primitive ; car, pour cela, il suffira de faire
et l’équation primitive sera
![{\displaystyle y^{2}+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'^{2}=2\mathrm {C} y+a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7b17b650b61e9d0fe7ef2907e421cd015b8059)
étant une constante arbitraire qu’on déterminera, comme nous l’avons dit, en supposant
et mettant pour
et
leurs valeurs tirées de l’équation proposée. Or elle donne, dans ce cas,
donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, elle donnera ![{\displaystyle p\mathrm {A} ^{2}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eb2edab9867bbf4bf13588d9d4146dbf69c11f)
Ainsi l’on aura cette équation en
du premier ordre
![{\displaystyle y^{2}+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'^{2}=2\mathrm {C} y+p\mathrm {A} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460bc752a8d1661a02060478340875b2e5630a31)
où
ne monte qu’au second degré, circonstance sans laquelle on n’aurait rien gagné pour la détermination de
en ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Mais, avant d’aller plus loin, il faut satisfaire aux conditions, nécessaires pour que la quantité
![{\displaystyle y+(m+nx)y'+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2814e5b7ab2211b11968c27593d19057e660395c)
après la substitution des valeurs de
devienne égale à une constante
Cette substitution donne la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+x^{3}+(m+nx)\left(\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3x^{2}\right)+\left(p+2mx+nx^{2}\right)(2\mathrm {B} +6x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee4e50b4f20a83e73e663547eb9b7b5780b5c0d)
développant, ordonnant les termes suivant les puissances de
et éga-
lant à
![{\displaystyle \mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea6dc0369a8826d0f3ad63159f1604ab645c6)
le terme sans
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et les autres à zéro, on aura
![{\displaystyle m\mathrm {A} +2p\mathrm {B} =\mathrm {C} ,\quad (1+n)\mathrm {A} +6m\mathrm {B} +6p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfef83c2d8f23245c320bd935c0482c772d6d05)
![{\displaystyle (1+4n)B+15m=0,\quad 1+9n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76addd171a4db41eab3ba0a7421f4a5c6cc8b564)
d’où l’on tire
![{\displaystyle n=-{\frac {1}{9}},\quad m=-{\frac {\mathrm {B} }{27}},\quad p=\mathrm {{\frac {B^{2}-4A}{27}}\quad {\text{et}}\quad C={\frac {3B^{3}-9AB}{27}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bfa9b25d608603a8a83229134dc69f864789e5)
Retenons, pour plus de simplicité, les quantités
et
et substituons celles de
et
dans l’équation ci-dessus ; elle deviendra, en tirant la valeur de
![{\displaystyle y'={\frac {3{\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}}{\sqrt {9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca556aa9979baaedb71bd8578440edc644da3851)
Il faut maintenant en déduire l’équation primitive en
et
mais, pour éviter les imaginaires, on doit distinguer deux cas, l’un où les radicaux sont réels, l’autre où ils sont imaginaires ; car, puisque toute valeur réelle de
donne pour
et
des valeurs réelles, il est visible que les deux radicaux de l’équation précédente seront réels ou imaginaires ensemble.
Supposons donc, en premier lieu, que
soit une quantité réelle ; il faudra donc que
par conséquent, on pourra supposer
![{\displaystyle y-\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df710507d5cf8daafa23a259474d1c7ec141fd79)
ce qui donnera
![{\displaystyle {\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C} y-y^{2}}}={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\cos z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87dfdda1a799caecaafb4a4b3e4df5a322dd735)
et, prenant les fonctions primes,
![{\displaystyle y'={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}z'\cos z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7d809082a5892f7495bdfb4cdd2c3a3a64665e)
substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra, en divisant par ![{\displaystyle 3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e86384bc2ac4ac6c2a68904ba067110f0876bd)
![{\displaystyle \left(9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {z'}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d112b8600f3391e17ca09bbe6f3831179ba2e22)
dont l’équation primitive peut être mise sous la forme
![{\displaystyle x+{\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9ad033d4fb3d102d6726ef43578877ad7e95ff)
étant une constante arbitraire qu’il faudra déterminer en sorte que
donne
conformément à la proposée. Soit
la valeur de
lorsque
on aura donc les deux équations
![{\displaystyle -\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423ac1e8f0f9eeddb81aef28e631aba5606422c3)
et
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {a}{3}}+\alpha \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d5af87bdc307e8ebfdc2992b1956c9259736fd)
par lesquelles on déterminera d’abord
ensuite
Après quoi on déterminera
par l’équation
![{\displaystyle \sin z={\frac {y-\mathrm {C} }{\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631abe9d73418400bba14439e5aa592a34af5980)
et l’on aura
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {B} }{3}}+{\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ea109c881828c184c255ccdcaf68834b86a536)
et, comme au même sinus de
répond aussi l’angle
augmenté d’une ou de deux circonférences, on aura les trois valeurs de
en prenant pour
ces trois valeurs
dénotant la circonférence du cercle.
C’est le cas qu’on appelle irréductible et où les trois racines sont réelles.
Supposons, en second lieu, que le radical
soit imaginaire ; il n’y aura qu’à multiplier le numérateur et le dénominateur de l’expression de
par
et l’on aura
![{\displaystyle y'={\cfrac {3{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}}}}{\sqrt {-9p+{\cfrac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e804cb1aa5b08d5e2a3ee497a09003f44374fb)
quantité toute réelle.
Ici j’observe que, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {\mathrm {B} }{3}}+x+{\sqrt {-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}},\\\mathrm {Y} =&-\mathrm {C} +y+{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2da396f05328b7da4028cd5d1e9ebc86e65efb6)
et qu’on prenne les fonctions primes, en regardant toujours
comme fonction de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '=&\mathrm {X} \left(-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},\\\mathrm {Y} '=&y'\mathrm {Y} \left(-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf490f0c45a70aa221845176627d1764ec768ae)
de sorte qu’on pourra réduire l’équation précédente à cette forme
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {X'}{X}}={\frac {Y'}{3Y}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd25f6263dbe5ba743f9179370845a30d66d614)
dont les deux membres ont pour fonctions primitives
et
On aura donc cette équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {l} \mathrm {X} ={\frac {1}{3}}\operatorname {l} \mathrm {Y} +\operatorname {l} b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d224e21db10c4e3c251a3289c3273a9747f70cc8)
étant une constante arbitraire, et, passant des logarithmes aux nombres, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f05260a6aa69e8510f83c3d251e56cb40d88af2)
Pour déterminer
on fera de nouveau
et
Or
devient
et
devient
donc on aura
![{\displaystyle b={\cfrac {{\cfrac {1}{3}}\mathrm {B} +{\sqrt {-9p}}}{\sqrt[{3}]{-\mathrm {C} +{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c334d940cbc210737185338d27b649065df336)
Maintenant, ayant la valeur de
en
il est aisé d’en tirer
car, en carrant l’équation
![{\displaystyle {\sqrt {-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}}=\mathrm {X} -{\frac {\mathrm {B} }{3}}-x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de10182553e5ddf26c765e8c8f158632cdeb09e9)
on en déduira sur-le-champ
![{\displaystyle x={\frac {\mathrm {\left(X-{\frac {1}{3}}B\right)} ^{2}+9p}{2\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9143696fe861c963250aae5fa773ac117e8819a)
par conséquent, en mettant pour
la valeur trouvée en
savoir
on aura
![{\displaystyle x={\frac {\left(b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }}-{\frac {1}{3}}\mathrm {B} \right)^{2}+9p}{2b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf966c184805081378bb5e183659ee5138e1a5da)
Cette expression ne peut donner, comme l’on voit, qu’une seule valeur réelle de
c’est le cas où l’équation a deux racines imaginaires.
Si l’on fait
les formules qu’on vient de trouver dans les deux cas se simplifient beaucoup et se réduisent aux formules connues pour la résolution des équations du troisième degré, privées du second terme mais nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce problème, qui appartient proprement à l’Algèbre, et que nous n’avons traité ici qu’en passant et pour montrer, par différentes applications, la manière d’employer l’algorithme des fonctions.