CHAPITRE VIII.
Où l’on examine les cas simples dans lesquels on peut passer des fonctions ou des équations dérivées du premier ordre aux fonctions ou aux équations primitives. Des équations linéaires des différents ordres, et de celles qu’on peut rendre linéaires.
49. Une équation du premier ordre en
et
étant donnée, si l’on peut, par des opérations quelconques, la ramener à la forme
![{\displaystyle f(x,y)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b23792681405b1a5545c063c11102d96db3cbe)
où
désigne la fonction prime d’une fonction de
marquée par
on aura sur-le-champ l’équation primitive
![{\displaystyle f(x,y)=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f106367d62e3432be1c1704151bd447a4a72a74a)
dans laquelle
sera la constante arbitraire.
Par exemple, l’équation
donne sur-le-champ
l’équation
étant divisée par
se réduit à
j’entends par
la fonction prime de la quantité
renfermée entre les deux parenthèses d’où l’on tire
ou bien, en divisant la même équation par
elle devient
![{\displaystyle {\frac {y'}{y}}-{\frac {1}{x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8940cf7f1a783fc59b418ec63c9412888959b02)
dans laquelle les variables
ne sont plus mêlées. Prenant donc la fonction primitive de chaque terme, on aura
![{\displaystyle \operatorname {l} y-\operatorname {l} x=\operatorname {l} a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa566c30c540121e18bba656e39eba03321f9fc9)
la caractéristique
![{\displaystyle \operatorname {l} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da8f2fbdc15dd9c5677d87969c4349c7d23f88c)
indiquant les logarithmes hyperboliques, d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91abfdc674b7ae5d5a909cb188dcc2ddab7fab77)
comme plus haut.
En général, si l’on peut réduire l’équation à la forme
![{\displaystyle f(x)+y'\operatorname {F} (y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fa233c78194b074899673c523447ceff84bf5b)
où les variables sont séparées, il n’y aura qu’à prendre les fonctions primitives de
et de
et faire la somme égale à une constante arbitraire
et la même chose aura lieu si l’on peut ramener la proposée à cette forme par une substitution quelconque.
Soit, par exemple, une équation de la forme
![{\displaystyle y'=f\left({\frac {y}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe2a766241282872919698b19cd7657f396b0cf)
Je fais
donc
et l’éguation devient, par ces substitutions,
![{\displaystyle xu'+u=f(u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b607e2a08233d7c9449122b16bf66067f9b7e5)
laquelle peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {u'}{u-f(u)}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf522f4e301159357fd2537545b0719a14822175)
qui est comprise dans la précédente.
Si l’on avait l’équation
![{\displaystyle y=xf(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c96bca4291a4d4b5dd88c2776022e045a40874)
au lieu de la réduire à la forme précédente, j’en prendrais les fonctions primes, ce qui me donnerait
![{\displaystyle y'=xy''f'(y')+f(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff272bd885010b03908062cc0a45710c449a7f5b)
équation réductible à la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {y''f'(y')}{f(y')-y'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18afafe35e915c9d34c9b4814097c780a1e0c9ef)
et qui, en faisant
rentre encore dans le cas précédent. Ayant trouvé ainsi une équation primitive entre
et
avec une constante arbitraire, c’est-à-dire entre
et
on chassera
par le moyen de la
proposée, et l’on aura une équation entre
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
avec la constante arbitraire, laquelle sera, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée. Cette dernière méthode est, comme l’on voit, une application de la théorie du Chapitre précédent.
50. De cette manière, on ramène, comme l’on voit, la recherche des fonctions primitives de deux variables à celle des fonctions primitives d’une seule variable ; mais, comme on n’y parvient ordinairement qu’en employant pour
et
d’autres variables, comme
et
c’est-à-dire en substituant pour
et
des fonctions données de
et
il faut observer, à l’égard de ces substitutions, que,
devenant fonction de
en vertu de l’équation qui a lieu entre
et
ces deux variables devront être aussi regardées comme fonctions de
Donc, ayant supposé
on aura, en regardant maintenant
et
comme fonctions de
(no 16) ; mais, lorsqu’on regarde
simplement comme fonction de
on a
comme nous l’avons fait jusqu’ici donc, pour passer de cette hypothèse à celle où
et
sont fonctions de
il faut mettre à la place de
la quantité
Ainsi, ayant à transformer l’équation
![{\displaystyle y'=\operatorname {F} (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbda78f23e9d33e983c82e7d49f6b42b34bac34b)
on commencera par la changer en
![{\displaystyle y'=x'\operatorname {F} (x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7baee2e31ae841087239f60d3bf6aff466cb457b)
ensuite on y substituera pour
leurs valeurs en
et
où
sera la fonction prime de
regardé comme fonction de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
De même, puisque
est la fonction prime de
regardé comme fonction de
il faudra substituer pour
la quantité
c’est-à-dire
et ainsi de suite.
Donc, si dans une équation, au lieu de regarder
comme fonction de
on voulait réciproquement regarder
comme fonction de
alors la fonction prime de
deviendrait l’unité, et l’on y substituerait simplement
pour
pour
et ainsi de suite.
51. Il y a, au reste, une manière générale de trouver l’équation primitive d’une équation dérivée d’un ordre quelconque elle consiste à rendre le premier membre de l’équation, dont le second est zéro, une fonction dérivée exacte par le moyen d’un multiplicateur. On trouvera dans la Leçon XIII du Calcul des fonctions une démonstration de l’existence de ce multiplicateur dans toutes les équations dérivées[1] ; mais la recherche en est le plus souvent très-difficile, ce qui rend cette méthode plus curieuse qu’utile.
52. Quant à la manière de trouver les fonctions primitives des fonctions d’une seule variable, comme de
ou de
on sait que, si
est une fonction rationnelle de
on peut toujours la décomposer en différents termes de la forme
ou
étant un nombre entier positif et
un facteur du dénominateur de la fonction, s’il en a un. Ainsi la fonction primitive de
sera composée d’autant de termes de la forme
et
ou
si
et
si
et il en sera de même de la fonction primitive de
(no 32).
Si
contient des quantités irrationnelles, on les fera disparaître par des substitutions, ce qui n’est possible en général, par les méthodes connues, que pour les radicaux de la forme
Quand il y a dans
des radicaux plus compliqués, ou même quand il y a plus d’un radical de cette forme, la recherche de la fonction primitive devient impossible en général par les méthodes connues, et l’on ne peut l’obtenir que par le moyen des séries, soit en faisant disparaître les radicaux par leur résolution en série, soit en employant la méthode générale pour le développement en série de toute fonction de
(no 33). Pour cela, on supposera
de là on aura
![{\displaystyle f''(x)=\operatorname {F} '(x),\quad f'''(x)=\operatorname {F} ''(x),\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795718a317a9510659cf62addb055f8bb832d2ff)
Donc la valeur de
fonction primitive de
sera représentée ainsi,
![{\displaystyle f(x)=f+x\operatorname {F} +{\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {F} '+{\frac {x^{3}}{2.3}}\operatorname {F} ''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d413ebd012301b6dadb5a8de20fc853e8ef8d4)
les quantités
étant les valeurs de
lorsque
où l’on voit que
sera une constante indéterminée.
53. Si, pour une équation proposée d’un ordre quelconque, on parvient à trouver une équation d’un ordre inférieur qui ne renferme point de constantes arbitraires ou qui n’en renferme pas autant qu’il peut y en avoir, alors cette équation ne pourra pas être regardée comme une équation primitive complète, mais elle ne sera qu’un cas particulier de cette équation, dans lequel on aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières.
Mais il y a un cas très-étendu, dans lequel il suffit d’avoir plusieurs valeurs particulières de
en
pour pouvoir en obtenir la valeur complète c’est celui où l’équation d’un ordre quelconque ne renferme les
que sous la forme linéaire.
Soit, en effet, proposée l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+\mathrm {D} y'''+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ebb58fe969c96a4cfb326990ff1280e7f23a08)
dans laquelle
soient des fonctions données de
seul. Soient
des fonctions différentes de
qui, étant substituées pour
satisfassent chacune en particulier à cette équation. Je dis que l’on aura, en général,
![{\displaystyle y=ap+bq+cr+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c65f725394cec6ca3c50c98fa1f3f59a795473)
étant des constantes arbitraires, ce qui est évident, car cette expression de
étant substituée dans la même équation,
satisfera indépendamment des constantes. D’où il suit que, si le nombre des valeurs particulières
est égal à celui de l’ordre de l’équa-
tion proposée, c’est-à-dire à l’indice de la fonction dérivée
![{\displaystyle y^{'''\ldots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec90a1f5c4de7476f09219717c836f92fda04e63)
la plus élevée, on aura l’expression complète de
![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
L’analyse du
no 44 fournit un exemple de cette méthode.
Mais il y a plus on peut alors trouver aussi la valeur complète de
qui satisfera à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+\ldots =\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828b1959f81b88b1ce5d50ba22ca2012204036e6)
étant aussi une fonction quelconque de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Comme cette méthode est une des plus utiles dans ce genre d’analyse, je crois devoir l’exposer ici en peu de mots.
54. Supposons que l’équation proposée soit du troisième ordre ; on verra aisément que la méthode est générale pour un ordre quelconque. Soit donc l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+y'''=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740dd79bff32a082159ee5c2a146ada2703a80ba)
et soient
trois valeurs différentes et particulières de
et
qui satisfassent à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+y'''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f57874198ecf80290db1d805f520f2398c3cd25)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} p+\mathrm {B} p'+\mathrm {C} p''+p'''=0,\\&\mathrm {A} q+\mathrm {B} q'+\mathrm {C} q''\,+q'''=0,\\&\mathrm {A} r+\mathrm {B} r'\,+\mathrm {C} r''\,+r'''=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6306f9b512bb202b7419d8843538e4c5a6560806)
Supposons
et regardons
comme trois fonctions inconnues de
qu’il s’agira de déterminer ; en prenant les fonctions primes, secondes et tierces de
on aura d’abord
![{\displaystyle y'=ap'+bq'+cr'+pa'+qb'+rc'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e30c210df0a499337862294f4b4d7719d9754cb)
Je suppose
j’aurai simplement
![{\displaystyle y'=ap'+bq'+cr'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af9de87497cb130f9879a2816f7b9e905498310)
De là, en prenant de nouveau les fonctions primes, j’aurai
![{\displaystyle y''=ap''+bq''+cr''+a'p'+b'q'+c'r'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5bdad8f0e1db1965c9ea3378db2ebb4a56fda6)
Je suppose derechef
![{\displaystyle a'p'+b'q'+c'r'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ceae30fd42200bfd85231f501e74f4c083984f)
j’aurai simplement
![{\displaystyle y''=ap''+bq''+cr'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77645fb4dfb2cd2c4514873f3b17d439488d274)
d’où je tire, en prenant encore les fonctions primes,
![{\displaystyle y'''=ap'''+bq'''+cr'''+a'p''+b'q''+c'r''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70d79d88dc9ebe14a84e3aab96af3e0a9675949)
Je substitue maintenant les valeurs de
et
dans l’équation proposée ; il est visible que, par la nature des quantités
les termes qui contiendront
se détruiront, et il ne restera que l’équation
![{\displaystyle a'p''+b'q''+c'r''=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c04fdab0f36b050995decb7b5fb170ce5bfc8b5)
qui, étant combinée avec les deux équations supposées
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a'p\ +b'q\ +c'r\ =0,\\&a'p'+b'q'+c'r'=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1757003c8fd5574cc14417959b9cd57d6f3f31b0)
servira à déterminer les trois quantités
les quantités
et leurs fonctions primes et secondes étant connues, ainsi que la quantité ![{\displaystyle \mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d402989a879b09601b3d7bda7617d43b609525c8)
Supposons donc qu’on ait trouvé
ces quantités
étant des fonctions connues de
il n’y aura qu’à les regarder comme des fonctions primes et en chercher les fonctions primitives, qui contiendront chacune une constante arbitraire qui pourra lui être ajoutée. On aura ainsi les valeurs des inconnues
qu’on substituera ensuite dans l’expression de
55. Lorsque l’équation n’est que du premier ordre, on n’a besoin que d’une valeur
et l’on peut toujours la trouver, car on a alors l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p+p'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd145e85dd3bccf539946cc970a23d24b42298a)
à laquelle satisfait cette valeur
étant la fonction primitive de
de manière que
et
dénotant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; en effet, on aura, en prenant les fonctions primes,
![{\displaystyle p'=-\mathrm {M} 'e^{-\mathrm {M} }=-\mathrm {A} p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d4e0b6d147afb471315427e8f94cc159f999b4)
Pour les équations d’un ordre supérieur au premier, il n’y a pas de méthode générale pour trouver les valeurs de
à moins que les coefficients
ne soient constants. Mais, dans ce cas, il est aisé de les trouver, car il n’y a qu’à supposer
étant une constante indéterminée ; on aura
![{\displaystyle p'=me^{mx},\quad p''=m^{2}e^{mx},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e22d3c12c6c24ed1c54ccc642642d5b82061f3)
donc l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p+\mathrm {B} p'+\mathrm {C} p''+\mathrm {D} p'''+\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5242038554a7c25ab0197f51816b31d2741cced)
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} m+\mathrm {C} m^{2}+\mathrm {D} m^{3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84297afefb90daadfc2d6643840b1fc07a31de7a)
laquelle sera, généralement parlant, d’un degré égal à l’ordre de l’équation proposée. Elle aura donc autant de racines qu’il y a d’unités dans ce degré, et, si l’on désigne ces racines par
on aura
![{\displaystyle p=e^{mx},\quad q=e^{nx},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d064d6d058e12f33b7bce50e33d2cd5caa4d49b)
de sorte que, dans ce cas, la difficulté est réduite à la résolution des équations.
56. On peut souvent rendre linéaires des équations qui ne le sont pas, par le moyen des substitutions, et, comme cette transformation est toujours avantageuse, voici deux cas très-étendus où elle réussit.
Le premier est celui de l’équation
![{\displaystyle y=xf(y')+\operatorname {F} (y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e54d08be62ea5ee6b101d37f47c14c50ed5e61)
qui est plus générale que celle que nous avons traitée ci-dessus (no 54). J’en prends d’abord les fonctions primes ; j’ai
![{\displaystyle y'=xy''f'(y')+f(y')+y''\operatorname {F'} (y')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eceaaa5be2c45b4eb45a006891e4f1e2b6d0b733)
je fais
et par conséquent
j’ai
![{\displaystyle z=xz'f'(z)+f(z)+z'\operatorname {F} '(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c71e8f8f8b286bf494413539ad8c1f2d63eca4)
équation du premier ordre en
et
où
est censé fonction de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Maintenant je regarde
comme une fonction de
il faudra mettre
à la place de
(no 50), et il viendra l’équation
![{\displaystyle xf'(z)+\left[f(z)-z\right]x'+\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3e41f02f9ae352958efdbbfdeaf5d3854d1dca)
qui est, comme l’on voit, du premier ordre et linéaire en
On pourra donc, par la méthode précédente, en trouver l’équation primitive en
et
mais la proposée, par la substitution de
au lieu de
devient
![{\displaystyle y=xf(z)+\operatorname {F} (z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8cb20c14977f4ee18fad566233c0073a898891)
éliminant donc
de ces deux équations, on aura une équation en
et
qui sera l’équation primitive de l’équation proposée.
Le second cas est celui de l’équation
![{\displaystyle y'+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9e34b74683457ac08c88ebe0188e062817ba50)
et
étant des fonctions
Ici je fais
ce qui donne
![{\displaystyle y'={\frac {z''}{\mathrm {M} z}}-{\frac {z'^{2}}{\mathrm {M} z^{2}}}-{\frac {z'\mathrm {M} '}{\mathrm {M} ^{2}z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f234e80b9cbf543987d863b00e89ac2aef3fe04c)
substituant ces valeurs et multipliant par
l’équation devient
![{\displaystyle z''-{\frac {\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M} }}+\mathrm {MN} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f717f45d95dab3759eee0cce20de41972d206e)
qui est, comme l’on voit, du second ordre, mais linéaire par rapport à ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Supposons qu’on ait trouvé d’une manière quelconque deux valeurs particulières de
en
c’est-à-dire sans constante arbitraire, que nous dénoterons par
et
Pour la valeur
on aura
d’où l’on tire
en dénotant par
la fonction primitive de
on aura de même, pour la valeur
étant la fonction primitive de
Ayant ainsi deux valeurs particulières de
on aura la valeur complète (no 53)
![{\displaystyle z=ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bcbe0448b7bd442fba3382ae7101c5bba85bd2)
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
et
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
étant deux constantes arbitraires ; donc, puisque
![{\displaystyle y={\frac {z'}{\mathrm {M} z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9cdafbc887e81847a43b00efc38d018c85bde7)
et que
![{\displaystyle \mathrm {P} '=p\mathrm {M} ,\ \mathrm {Q} '=q\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9711bee19127eb0258926f366c4cac79376df5)
on aura cette valeur complète de
![{\displaystyle y={\frac {ape^{\mathrm {P} }+bqe^{\mathrm {Q} }}{ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6718f5b6d520cb49008a9de03d8e98e08178052e)
c’est-à-dire, en faisant ![{\displaystyle {\frac {b}{a}}=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2df4ba097ff41fba1977c3e039b7a5383938cfe)
![{\displaystyle y={\frac {p+cqe^{\mathrm {Q-P} }}{1+ce^{\mathrm {Q-P} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fffafa20acc148233b539cf4cecefad24700d9)
où
est la constante arbitraire.
Par exemple, si
étant une constante, il est aisé de voir que l’on satisfera à la proposée en
en faisant
et, à cause de l’ambiguïté du radical, on aura
![{\displaystyle p={\sqrt {m}},\quad q=-{\sqrt {m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e645ca455847e7c79134b4ae8c8b2950e72f9c12)
donc, nommant
la fonction primitive de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P=L} {\sqrt {m}},\quad \mathrm {Q=-L} {\sqrt {m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0236cf70033953f7d4b13bf553cc47b70d67d7f)
et la valeur complète de
sera
![{\displaystyle {\frac {\left(1-ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}\right){\sqrt {m}}}{1+ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df4e952784c2ad1b5e11ec0f34098197ea7d18)
Au reste, dans ce cas, l’équation proposée peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {y'}{y^{2}-m}}+\mathrm {M} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf08f00908217e224b9a4f7f2e181f7bae1cc64)
où les variables
et
sont séparées, et dont on peut trouver l’équation primitive, comme nous l’avons montré plus haut.
57. Lorsque l’équation proposée n’est pas linéaire en
ou qu’elle n’est pas comprise sous la forme précédente, je ne connais aucune méthode générale pour compléter les valeurs particulières de
qu’on aurait trouvées ; mais on y peut toujours parvenir par le moyen des séries.
Supposons, en effet, que, pour une équation du premier ordre en
et
la valeur complète de
soit
étant la constante arbitraire. En donnant à
une valeur particulière
la quantité
deviendra une valeur particulière de
que nous nommerons
et que nous supposerons connue d’une manière quelconque. Faisons maintenant
et développons la fonction
en série ascendante suivant les puissances de
le premier terme sera
et les autres termes seront de la forme
étant des fonctions de
Si l’on substitue cette expression de
dans l’équation donnée du premier ordre, il faudra qu’elle se vérifie indépendamment de la constante
qui doit demeurer arbitraire.
Soit donc
![{\displaystyle y'=\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e489f3c1ee4333c095d61940ed62e8f98f78d62)
l’équation du premier ordre à laquelle satisfait la valeur particulière
on aura, d’après cette condition,
![{\displaystyle p'=\operatorname {F} (x,p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4260b61861f761dc056d2f4b8e15924ad1344519)
Substituons pour
la série
et développons aussi la fonction
en série suivant les puissances de
si l’on dénote simplement par
les fonctions primes, secondes, etc. de
prises relativement à
seul, et qu’on fasse, pour abréger,
on aura, par la théorie exposée plus haut sur le développement des fonctions,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=\operatorname {F} (x,p)+o\operatorname {F} '(p)+{\frac {o^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7589898fba3a55e73a7d3149739b901f9f52f55)
D’un autre côté, on aura, en prenant les fonctions primes,
![{\displaystyle y'=p'+q'i+r'i^{2}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5132b42970feb34ec603fca91a13eceb9b89711)
donc, substituant ces valeurs dans l’équation
et ordonnant les termes suivant les puissances de
on aura, à cause de ![{\displaystyle p'=\operatorname {F} (x,p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a778763ea2eb808e94c78f0deeb48f53055a41)
![{\displaystyle iq'+i^{2}r'+\ldots =iq\operatorname {F} '(p)+i^{2}\left[r\operatorname {F} '(p)+{\frac {q^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)\right]+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59292747ec4dc2d60685cb774adca2748ac7a68)
d’où l’on tire, par la comparaison des termes affectés des mêmes puissances de
![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
les équations suivantes :
![{\displaystyle q'=q\operatorname {F} '(p),\quad r'=r\operatorname {F} '(p)+{\frac {q^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p),\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab2429efc5eef27595656f9f6ce2fde59e2a672)
qui serviront à déterminer successivement toutes les inconnues ![{\displaystyle q,r,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef4c1ddfa437a70c0fd3646b47f0a33dca632cd)
Comme les quantités
sont des fonctions données de
il est visible qu’on n’aura pour ces inconnues que des équations linéaires du premier ordre, susceptibles de la méthode du no 55 ; il ne sera pas même nécessaire d’avoir les valeurs complètes de
il suffira d’avoir des valeurs quelconques qui satisfassent à ces équations de condition.
Ayant ainsi déterminé les valeurs des quantités
on aura cette valeur complète de
![{\displaystyle y=p+iq+i^{2}r+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea7d0087c61e26939930f42324dd909467e82c2)
dans laquelle
sera la constante arbitraire qui manquait à la valeur particulière
Cette valeur sera à la vérité exprimée par une série, mais la convergence de cette série ne dépendra que de la valeur de la constante ![{\displaystyle i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffcf9ad7ad44f04fa43c5b604b4801e089981cb)
Cette méthode est aussi applicable, avec l’extension convenable, aux équations des ordres supérieurs au premier ; mais les équations qu’on trouvera pour la détermination des fonctions inconnues seront du même ordre, et par conséquent on ne pourra trouver, en général, les valeurs de ces fonctions que dans le cas où les coefficients seront constants.
Au reste, cette méthode est le fondement des solutions des principaux problèmes de la théorie des planètes. Comme les excentricités et les inclinaisons qu’on doit regarder comme des constantes arbitraires sont fort petites, et que l’effet des attractions est aussi très-petit, le cercle fournit d’abord des valeurs particulières, et l’on complète ensuite ces valeurs par des séries qui procèdent suivant les puissances de ces constantes très-petites.