CHAPITRE III.
Fonctions dérivées des puissances, des quantités exponentielles et logarithmiques, des sinus, cosinus et des expressions composées de ces fonctions simples. Équations dérivées.
10. Puisque tout se réduit à trouver la première fonction dérivée d’une fonction donnée, nous allons donner des règles générales pour la formation des fonctions dérivées des principales quantités qu’on emploie dans l’Analyse.
Par ce que nous venons de démontrer, on voit que la fonction dérivée
d’une fonction donnée
de la variable
n’est autre chose que le coefficient de
dans le premier terme du développement de cette fonction, après la substitution de
à la place de
Ainsi il ne s’agit que de-trouver ce premier coefficient.
Soit donc d’abord
on aura
![{\displaystyle f(x+i)=(x+i)^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6876697f59cc364186af20c185189d138451f12)
or il est facile de démontrer, soit par les simples règles de l’Arithmétique, soit par les premières opérations de l’Algèbre, que les deux premiers termes de la puissance
du binôme
sont
soit que
soit un nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif ; ainsi on aura
![{\displaystyle f'(x)=mx^{m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872333d6160f6f482443f289b75bd8307a8dbfe8)
De là on tirera de la même manière
![{\displaystyle f''(x)=m(m-1)x^{m-2},\quad f'''(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d907bc8ffce6e3ac0dbf12ef0e03d5eae04622a3)
de sorte qu’on aura, par la formule générale du
no 8,
![{\displaystyle (x+i)^{m}=x^{m}+mx^{m-1}i+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}i^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}i^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cce5f2b5b208e3f5da4a8fc54d8a8c70e3ba19)
ce qui est la formule connue du binôme, laquelle se trouve ainsi démontrée pour toutes les valeurs de
.
11. Soit en second lieu
on aura
![{\displaystyle f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}a^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2694b9ab02b594d3f48aeb2aad2489876cc2a962)
Ainsi tout se réduit à trouver les deux premiers termes de la série de
développée suivant les puissances de
.
Soit, pour cela,
alors
![{\displaystyle a^{i}=(1+b)^{i}=1+ib+{\frac {i(i-1)}{2}}b^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}b^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ba45e90aa1d4d1db2a83d0295cb9d03b6b5c97)
par la formule que nous venons de démontrer. Développant les produits de
et ordonnant les termes suivant les puissances de
on trouvera que les termes multipliés par
forment cette série ![{\displaystyle i\left(b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20de37ba098414ece99d7928ba20331c1c680da2)
Donc, faisant pour abréger
![{\displaystyle \mathrm {A} =b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots =(a-1)-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a771f31324550d84cd86b2177a73bf223cd972)
les deux premiers termes de la valeur de
en série seront
on aura par conséquent
![{\displaystyle f'(x)=\mathrm {A} a^{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6f9adefcfef0d19190ca57c296751b43e9e5fd)
On tirera de là, par la même opération répétée,
![{\displaystyle f''(x)=\mathrm {A.A} a^{x}=\mathrm {A} ^{2}a^{x},\quad f'''(x)=\mathrm {A} ^{3}a^{x},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ab54281dee091ed6223072a072eacfe3896956)
on aura ainsi
![{\displaystyle f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}\left(1+\mathrm {A} i+{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6e500e4dfb88b26b441dbe3d62ddcc6017ce14)
Divisant par
![{\displaystyle a^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c031175c5142c25946f910813bf41c034fed75c1)
et changeant
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
en
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
on aura la série connue
![{\displaystyle a^{x}=1+\mathrm {A} x+{\frac {\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3213fae72af27628bf5f62f45e9270bc9de9b6d5)
12. Si dans cette formule on fait
on aura
![{\displaystyle a=1+\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5471b478388eed74072da84cbcbc361295adbf)
et, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aed47c706af8e0f58cb1671461325b0ef78233f)
Ainsi la quantité
est égale à un nombre constant, qui est la valeur de
lorsque
et par la série précédente on trouve
![{\displaystyle a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=2{,}71828\ 18284\ 59045\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e7218e1c6b87f26167614bbcad3d2f8ea959c3)
C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par
de sorte que la relation entre
et
se trouve exprimée d’une manière finie par l’équation
laquelle donne ![{\displaystyle a=e^{\mathrm {A} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facd747e091077eacd5a4a50232286d937d369a3)
Donc, si
on aura
et par conséquent
![{\displaystyle f'(x)=me^{mx},\quad f''(x)=m^{2}e^{mx},\quad f'''(x)=m^{3}e^{mx},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf7217c55782bb7df1cb8284483c72c48dfd44e)
d’où l’on tirera, comme ci-dessus,
![{\displaystyle e^{mx}=1+mx+{\frac {m^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {m^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84a57a28a3b3a2ec06984394340ef29ddeb83d6)
Or, dans l’équation
est ce qu’on appelle le logarithme de
étant la base du système logarithmique, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est l’unité, de sorte que cette équation donne
pour la base
Par la même raison, l’équation
donnera
pour la base
et
pour la base
.
Dans le système des logarithmes ordinaires, la base a a été prise égale à
parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique ; mais dans l’Analyse on préfère, comme plus simple, le système dont la base est le nombre
c’est le système des logarithmes de Neper, qu’on nomme communément logarithmes hyperboliques, parce qu’ils sont représentés par l’aire de l’hyperbole équilatère entre ses asymptotes, et on les désigne par la simple caractéristique
Ainsi on a
par conséquent, la fonction prime de la fonction
est exprimée par
(numéro précédent).
Au reste, comme
on aura
et par conséquent
moyennant quoi on peut réduire toutes les exponentielles à la même base
.
13. Soit donc, en troisième lieu,
on aura, par la nature des logarithmes,
Or,
devenant
devient
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2427698535175e343f7dba46dd1c332578e604ab)
Faisant, pour abréger,
l’équation
deviendra, en y mettant
pour
et
pour ![{\displaystyle f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10535d1a7a971ffeeb216605cb846099fab2e653)
![{\displaystyle x+i=a^{f(x)+o}=a^{f(x)}.a^{o},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18d75303de6a78f7813d9b8db13fb793bb81811)
et, divisant cette équation par la précédente, on aura
![{\displaystyle 1+{\frac {i}{x}}=a^{o}=1+\mathrm {A} o+{\frac {\mathrm {A} ^{2}o^{2}}{2}}+\ldots \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dae3c7097809a79794490079ad5e6f66e62262)
(numéro précédent).
Effaçant l’unité de part et d’autre, et divisant par
après avoir substitué la valeur de
on aura, en ordonnant suivant les puissances de ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x)+{\frac {i}{2}}\left[\mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)\right]+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c06298ba2581e6aeeb8a38fc60c4c341924f09)
La quantité
étant et devant demeurer indéterminée, il faudra que cette équation se vérifie indépendamment de cette quantité ; par conséquent, tous les termes affectés d’une même puissance de
devront
se détruire d’eux-mêmes et former autant d’équations à part. On aura donc ainsi
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x),\quad \mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e78221d99a9bb8b521a2448c884d3e553c67ca)
et ainsi de suite.
Donc,
étant égal à
on aura, en général,
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mathrm {A} x}}={\frac {1}{x\operatorname {l} a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89051edfe19fedf88bf0075c8e160f17d7ca35e9)
et de là, par la formule générale du no 10, on tirera
![{\displaystyle f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}\operatorname {l} a}},\quad f'''(x)={\frac {2}{x^{3}\operatorname {l} a}},\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=-{\frac {2.3}{x^{4}\operatorname {l} a}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58129a14e70a878d71a73b01222f5c9c6794cd9f)
valeurs qui satisfont, comme l’on voit, aux différentes équations trouvées ci-dessus. Ainsi, par la substitution de ces valeurs dans la série
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle \log(x+i)=\log x+{\frac {i}{x\operatorname {l} a}}-{\frac {i^{2}}{2x^{2}\operatorname {l} a}}+{\frac {i^{3}}{3x^{3}\operatorname {l} a}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52c170cbfba86a2bff2ea8e28b8558056e69dab)
Faisant
et changeant
en
on aura la formule connue
![{\displaystyle \log(1+x)={\cfrac {x-{\cfrac {x^{2}}{2}}+{\cfrac {x^{3}}{3}}-\ldots }{\operatorname {l} a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f3906297dacb900ce9b7eface3c71e5348301)
Pour les logarithmes hyperboliques où
on aura simplement
![{\displaystyle f(x)=\operatorname {l} x,\quad f'(x)={\frac {1}{x}},\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249706bdc49a975b7e3eef04de1e470ceab2d182)
14. Lés sinus et cosinus d’angles considérés analytiquementne sont que des expressions composées d’exponentielles imaginaires ; ainsi, on peut déduire leurs fonctions dérivées de celles de ces exponentielles.
Soit donc, en quatrième lieu,
comme on a
![{\displaystyle \sin x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af962b3bc1e5d48b2bf4e3c22c0fec44c195bf76)
on fera
![{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421b621a5d806d9b294b347ddde46d99d84865ca)
et l’on aura (no 12), en mettant
au lieu de
dans ![{\displaystyle e^{mx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a43a7839d0957088eeca61fef2ed736392ed91)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}=\cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bd83213cf9fe8fa351ff6861f3e21e03cb90cd)
De même, en faisant
![{\displaystyle f(x)=\cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbc40a3f850e5ceb4362b63e21c697504c4928b)
on trouvera
![{\displaystyle f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}{\sqrt {-1}}=-\sin x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8366488dfda5b4c49e9c46881fd52c2746c587b0)
Connaissant ainsi les fonctions primes des fonctions
on en déduira facilement toutes les autres fonctions dérivées.
En effet, puisque
a donné
et que
a donné
on aura, pour
![{\displaystyle f'(x)=\cos x,\quad f''(x)=-\sin x,\quad f'''(x)=-\cos x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\sin x,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0595b16e971e2dd9b40d56d18b739dd7f7a4e4)
et, pour
on aura
![{\displaystyle f'(x')=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\cos x,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed18127c47c5eaf4d5497e34acaae4731a08396)
D’après ces formules, on aura sur-le-champ les séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x+i\cos x-{\frac {i^{2}}{2}}\sin x-{\frac {i^{3}}{2.3}}\cos x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\sin x+\ldots ,\\\cos(x+i)=&\cos x-i\sin x-{\frac {i^{2}}{2}}\cos x+{\frac {i^{3}}{2.3}}\sin x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\cos x-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58dbab8ee735e472db0d3ff6a14192eb9b34213)
d’où, en faisant
et changeant
en
on tire les séries connues
![{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\quad \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5753dff6a475f0910a2ebb8839712bbd1e6a1f0)
15. Les fonctions
que nous venons de considérer doivent être regardées comme les fonctions simples analytiques d’une seule variable. Toutes les autres fonctions de la même variable se composent de celles-là par addition, soustraction, multiplication ou division, ou sont données en général par des équations dans lesquelles entrent des fonctions de ces mêmes formes. Ainsi, connaissant les fonctions primes des fonctions simples que nous venons d’examiner, on trouvera aisément les fonctions primes des fonctions composées, et, par les mêmes opérations répétées, on aura successivement les fonctions secondes, tierces, etc.
Soient
des fonctions simples de
dont
soient les fonctions primes connues par les règles précédentes, et qu’on demande la fonction prime
d’une fonction
composée de
on considérera que,
devenant
devient en général
(no 9). Or
deviennent en même temps
et ainsi des autres. Il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de
développer les termes suivant les puissances de
et le coefficient de
sera la valeur cherchée de
Ainsi, si
étant des coefficients constants quelconques, on aura sur-le-champ
![{\displaystyle y'=ap'+bq'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd82a242654badefc8f421b85ed4835556339c8)
Si
la quantité
deviendra
![{\displaystyle (p+ip'+\ldots )(q+iq'+\ldots )=pq+i(p'q+q'p)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b957788ae8c0890b93705352845a87fc8016f61)
donc
![{\displaystyle y'=ap'q+aq'p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753cc0813de8b37758e023095baa49c78454393d)
Si
on trouvera de la même manière
![{\displaystyle y'=ap'qr+aq'pr+ar'pq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a3f79adf219d7fdcf35bef82cae0dfb0e9d157)
et ainsi de suite.
Si
la quantité
deviendra
![{\displaystyle {\frac {p+ip'+\ldots }{q+iq'+\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b775fc726f9de04029ce0d2279b2febf18c0b72f)
Développant le dénominateur en série par les règles connues, on aura
![{\displaystyle (p+ip'+\ldots )\left({\frac {1}{q}}-{\frac {iq'}{q^{2}}}+\ldots \right)={\frac {p}{q}}+i\left({\frac {p'}{q}}-{\frac {q'p}{q^{2}}}\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7a0f557bca4532e8ee210ab8e6873cb269e77d)
16. Soit, en général,
en regardant
comme une fonction primitive de
sa fonction prime sera
en sorte que,
devenant
(j’emploie ici la quantité indéterminée
à la place de la quantité indéterminée
qui désignera toujours l’augmentation indéterminée de
),
deviendra (no 8)
![{\displaystyle f(p)+of'(p)+o^{2}{\frac {2}{f''(p)}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9714183aeb92cd2f907e8be42ca9aa7341a7d3)
Or,
étant une fonction de
lorsque
devient
devient (no 8)
![{\displaystyle p+ip'+{\frac {i^{2}p''}{2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b850b9130a0acb9ecfced86c3e02ec7cdf89ec61)
donc, faisant
deviendra, par la substitution de
à la place de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle f(p)+ip'f'(p)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[p'^{2}f''(p)+p''f'(p)\right]+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1204a16f61251bd537dbd2f8fc04ac1e7cd96725)
par conséquent, on aura
![{\displaystyle y'=p'f'(p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f379fb3db4b271ac60812d4364e6420981e2692)
d’où résulte ce principe, que la fonction prime d’une fonction d’une quantité qui est elle-même une fonction d’une autre quantité est égale au produit des fonctions primes des deux fonctions.
Supposons maintenant que
soit une fonction de
et de
que nous désignerons par
il s’agit donc de substituer
à la place de
dans les deux fonctions
et
Or il est visible que l’on doit avoir le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à la fois ou successivement, puisque les quantités
et
sont regardées comme indépendantes.
En substituant d’abord
à la place de
dans la fonction
la fonction
regardée seulement comme fonction de
devient
![{\displaystyle f(p,q)+ip'f'(p)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bee5306a3525f204e6ee958d8c4fa40d8491e7)
j’écris simplement
pour désigner la fonction prime de
prise relativement à
seul,
étant regardée comme constante. Substituons maintenant
pour
dans
la fonction
deviendra pareillement
![{\displaystyle f(p,q)+iq'f'(q)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad03fc9fe2bb7f8d0fa49657d2877c4a022dbf4)
où
représente la fonction prime de
prise relativement à
seul,
étant regardée comme constante. Quant au terme
il est visible que, par cette nouvelle substitution, il se trouverait augmenté de termes multipliés par
Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement de
après la substitution de
pour
seront simplement
![{\displaystyle f(p,q)+i\left[p'f'(p)+q'f'(q)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d17f0d5a0ba3deaea205863d19382a6b475ef0)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle y'=p'f'(p)+q'f'(q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470d9e187f875982c4951fbe613508eb01a577fe)
Si
était une fonction de
représentée par
on trouverait de la même manière
![{\displaystyle y'=p'f'(p)+q'f'(q)+r'f'(r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03dac26ad18ff7f9178421b07af79aa7875953c)
et ainsi de suite.
D’où il est aisé de tirer cette conclusion générale, que la fonction prime d’une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions primes relatives à chacune de ces mêmes fonctions, considérées séparément et indépendamment l’une de l’autre.
Ce principe, combiné avec le précédent, suffira pour trouver les fonctions primes de toutes sortes de fonctions, ainsi que les autres fonctions dérivées des ordres supérieurs.
Ainsi, en supposant
une fonction quelconque de
les fonctions primes de
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{m},\quad \operatorname {l} \mathrm {X} ,\quad a^{\mathrm {X} },\quad \sin \mathrm {X} ,\quad \cos \mathrm {X} ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2fa14f003691319733875bd2a8f6c8a0a009b1)
seront
![{\displaystyle m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ',\quad \mathrm {\frac {X'}{X}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '\operatorname {l} a,\quad \mathrm {X} '\cos \mathrm {X} ,\quad -\mathrm {X} '\sin \mathrm {X} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f65a4e259dd82aa6394a2d002f67835825e37b3)
et leurs fonctions secondes
![{\displaystyle m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ''+m(m-1)\mathrm {X} ^{m-2}\mathrm {X} '^{2},\quad \mathrm {\frac {X''}{X}} -\mathrm {\frac {X'^{2}}{X^{2}}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}\operatorname {l} a+a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}(\operatorname {l} a)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf5e7290b54a04ac6cd84c6587e926913a1da54)
![{\displaystyle \mathrm {X''\cos X-X'^{2}\sin X,\quad -X''\sin X-X'^{2}\cos X,\quad \ldots } ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d805adba8030a063deec5353e90b634e37df989d)
et ainsi de suite.
17. Mais la fonction
pourrait n’être donnée que par une équation quelconque entre
et
Représentons cette équation, en général, par
on aura, par la résolution,
égal à une certaine fonction de
qu’on pourra désigner par
de sorte que, en substituant
pour
dans la fonction
elle deviendra
fonction de
seul que nous désignerons par
Cette fonction
devra donc être nulle quelle que soit la valeur de
. Donc elle le sera aussi en mettant
pour
quelle que soit la valeur de
. Mais, par cette substitution,
devient
![{\displaystyle \varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42577ec7c499bfba940abf0e8d3ce5c6851e6a23)
donc, pour que
puisse être une quantité quelconque, il faudra que l’on ait séparément les équations
![{\displaystyle \varphi (x)=0,\quad \varphi '(x)=0,\quad \varphi ''(x)=0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6d927d73389cbf826717a3eda8c2423282b403)
dont la première est l’équation donnée, la seconde est sa fonction prime, la troisième sa fonction seconde, etc.
Or, puisque
sera la fonction prime de
étant regardée comme fonction de
et, par le principe établi dans le numéro précédent, cette fonction prime sera exprimée par
en désignant par
et
les fonctions primes de la fonction
prises relativement à
seul et à
seul.
Donc l’équation
donnera
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07b4754b3166bcf0c1d743809bde7f2f514b8d5)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y'=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(y)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938dd6150ec4e405a3a07f556402b3fef90b49c1)
Ayant ainsi la valeur de la fonction prime
en fonction de
et
on aura celle de
en prenant la fonction prime de cette fonction, et ainsi de suite.
Il résulte de l’analyse précédente ce principe :
Lorsqu’on a une équation quelconque entre deux variables
l’équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses termes, ainsi qu’entre leurs fonctions secondes, etc. Nous appellerons ces nouvelles équations équations dérivées, et en particulier équations primes, équations secondes, etc., celles qu’on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc.
Si l’équation ne contenait qu’une seule variable qui dût demeurer indéterminée, ce qui a lieu dans les équations identiques, le même principe subsisterait, et l’on aurait également une équation prime, une équation seconde, etc., qui seraient aussi identiques.
Les Leçons III, IV, V, VI et VII sur le Calcul des fonctions renferment un commentaire sur les principaux points que nous venons de traiter dans ce Chapitre ; on y trouvera des développements utiles et importants et des applications nouvelles.