ADDITION À LA NOTE DE LA PAGE 28.
» J’ai démontré, à la page 28, l’impossibilité, pour une fonction ayant la forme simple
d’exprimer dans le cas de mouvements bien continus le mode de distribution des vitesses, c’est-à-dire le quotient
à l’intérieur de sections non elliptiques dont la figure changerait avec le rapport
Mais j’ai supposé que ce rapport dût pouvoir varier de zéro à l’infini. Or la démonstration subsiste, et établit la même impossibilité, dès qu'on demande seulement que la formule
convienne pour deux formes distinctes de la section, ou pour deux valeurs du rapport
» En effet, les relations aux dérivées partielles troisièmes de
que donne la différentiation de l’équation indéfinie
peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\frac {c^{2}}{b^{2}}}{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta }}{d\zeta ^{2}}=0,\quad {\frac {c^{2}}{b^{2}}}{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{2}d\zeta }}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\zeta ^{3}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e1a0f96d97018eb59485227f10366557d0abaa)
Admettons que chacune d’elles doive être vérifiée pour deux valeurs distinctes de
et soient, par exemple,
celles-ci pour la première équation. Nous aurons
![{\displaystyle \lambda {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta d\zeta ^{2}}}=0,\quad \mu {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi }{d\eta d\zeta ^{2}}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3feca80e82faca25337b71a0bd39d9c2b4ac9b0b)
d’où
![{\displaystyle \left(\lambda -\mu \right){\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef354f2dbaf0321048fefdb665beb5ca673c8146)
Il vient, dès lors,
![{\displaystyle {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta d\zeta ^{2}}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4cfc121861c28665b985a7cfb4b5987bafaf02)
et, de même,
![{\displaystyle {\frac {d^{3}\varphi }{d\eta ^{2}d\zeta }}=0,\quad {\frac {d^{3}\varphi }{d\zeta ^{3}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d3d1c38e937b4486f0ea1d43317285f207a31b)
Les dérivées partielles troisièmes de
sont donc tenues de s’annuler identiquement, tout comme si les paramètres
étaient, tous les deux, arbitraires. »