Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/XVI

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 51-59).

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NOTE COMPLÉMENTAIRE.

Explication physique de la fluidité et raison d’être des frottements intérieurs dans les fluides^[1].

» 1. De l’isotropie simple et de l’isotropie symétrique. — Quoique les fluides soient les plus simples des corps, surtout au point de vue des propriétés mécaniques ou des formules qui relient, dans toute particule matérielle, les pressions à l’état moyen local actuel^[2], néanmoins, la définition de la fluidité suppose la connaissance d’une notion, d’ailleurs capitale dans toutes les branches de la Physique, qu’il convient d’exposer d’abord, celle de l’isotropie.

» On conçoit qu’une particule de matière puisse dans son état présent, supposé rendu fixe pour plus de commodité, être conformée intérieurement de manière à offrir le même aspect moléculaire général, le même agencement moyen de ses points matériels, à un observateur infiniment petit, placé vers son milieu pour examiner les détails de sa structure, et qui s’y orienterait successivement de tous les côtés. Quand cela a lieu, ou, en d’autres termes, quand l’observateur idéal dont il s’agit a sans cesse devant lui, vers quelque direction qu’il se tourne, la même figure générale formée par les groupements des atomes qui l’environnent, figure pouvant être prolongée ou complétée, tant à droite et à gauche qu’en dessus, au-dessous et jusqu’en arrière de lui, sans cesser de lui apparaître toujours sensiblement identique, presque comme si elle le suivait dans sa rotation, on dit que la particule est isotrope. Les propriétés physiques liées à sa configuration interne s’exprimeront évidemment de même, dans tous les systèmes de coordonnées $x,$ $y,$ $z$ fournis par trois axes rectangulaires participant au mouvement de l’observateur, c’est-à-dire qui se déduisent d’un premier système d’axes au moyen d’une rotation quelconque, ou qui présentent la même disposition mutuelle, ceux des $x$ et des $y$ positifs étant, par exemple, devant l’observateur, respectivement à sa gauche et à sa droite, quand l’axe des $z$ va de ses pieds vers sa tête.

» Cette isotropie, offerte naturellement par les solides amorphes ou à cristallisation confuse soustraits à toute action extérieure, par les dissolutions aqueuses, etc., implique, d’une certaine manière, la parité de constitution en tous sens, vu que chaque côté ou direction de l’espace peut venir, à son tour, occuper le centre du Tableau, toujours le même, perçu par l’observateur idéal. Mais elle n’implique pas, nécessairement, la symétrie à droite et à gauche de celui-ci : car rien n’empêche les groupes atomiques d’affecter, par exemple, la forme de fragments d’hélices ou de vis tous égaux, bien qu’ayant leurs axes orientés indifféremment dans tous les sens, ou encore celle de tétraèdres non isocèles égaux, épars çà et là, etc. ; et l’on sait que de pareils groupes se trouvent, par le fait même de leur égalité superposable, incapables de former des figures symétriques à droite et à gauche de l’observateur. Autrement dit, les propriétés physiques d’une particule isotrope sont bien exprimées d’une même manière, dans tous les systèmes d’axes rectangles des $x,$ $y,$ $z$ présentant une certaine disposition mutuelle, et aussi d’une même manière dans tous ceux qui offrent la disposition inverse ; mais ces deux manières peuvent, parfois, rester distinctes, quand il n’y a pas, dans la contexture de la molécule, quelque plan de symétrie qui permette, a priori, d’attribuer à un axe coordonné en émanant normalement d’un côté, le même rôle qu’à son prolongement vers le côté opposé, et de passer ainsi des premiers systèmes aux seconds. L’on dit alors que l’isotropie est dissymétrique.

» Il faudra donc, pour qu’il y ait isotropie symétrique, ou absolue parité (au moins apparente) de la constitution dans tous les sens, c’est-à-dire par rapport à tous les systèmes d’axes rectangles se croisant dans la particule, qu’on puisse renverser la direction d’un seul des axes, le remplacer par son symétrique relativement au plan des deux autres axes, sans modifier l’expression des propriétés physiques dont on veut s’occuper. Du reste, l’isotropie entraînera la symétrie, si les réductions en résultant dans les formules rendent celles-ci inaltérables par le simple retournement d’un des axes. Or c’est ce qui arrive le plus souvent. Il n’y a guère, en Mécanique et en Physique, que le phénomène de la polarisation rotatoire des dissolutions, où apparaisse la différence de l’isotropie dissymétrique d’avec l’isotropie symétrique.

» Dans la suite de ces Leçons, relatives soit aux fluides, soit, plus loin, aux solides élastiques, nos raisonnements, quand il sera question d’isotropie, ne supposeront que l’isotropie dissymétrique ou simple ; mais les formules auxquelles nous arriverons se trouveront, d’elles-mêmes, vérifier les conditions de l’isotropie symétrique.

» Un corps formé de particules toutes isotropes sera dit isotrope lui-même. Il pourra néanmoins être hétérogène, à cause de variations continues soit de nature, soit de densité, soit même seulement de structure interne, qu’on y observera au passage d’une particule à ses voisines.

» 2. Des fluides ; leur propriété caractéristique, consistant dans la reconstitution incessante de leur isotropie. — Cela posé, les fluides sont, par définition (pour le géomètre), des corps isotropes ayant, comme propriété caractéristique, de recouvrer spontanément leur isotropie après toutes les déformations possibles, et même de la garder à fort peu près durant ces déformations, pourvu qu’elles s’effectuent avec une lenteur suffisante. Il se produit, dans leurs moindres particules, pendant les mouvements moyens locaux ou observables que nous y constatons, d’imperceptibles mais incessantes modifications des groupements moléculaires, tendant à y égaliser les intervalles dans les diverses directions et, par suite, à y maintenir une constitution pareille en tous sens. Quand, par exemple, un de leurs éléments de volume s’allonge dans certains sens et se contracte dans d’autres, une légère évolution de la plupart de ses molécules, autour de leurs voisines, les aligne en plus grand nombre suivant les premières directions et les écarte des secondes ; en sorte que l’observateur idéal dont il a été parlé ci-dessus, placé vers le milieu de l’élément de volume et capable d’apprécier leur disposition, pût la juger pareille tout autour de lui (au moins dans l’ensemble ou en moyenne), de quelque manière qu’il s’orientât.

» Cet effet de régularisation a lieu très vite dans les fluides sans viscosité appréciable, ou proprement dits, comme les gaz, l’eau, l’alcool, etc. ; et l’on peut alors presque toujours, à une assez grande approximation, y poser atteint à tout instant, même pendant des mouvements rapides, l’état de la matière que nous avons appelé élastique^[3], où la configuration interne propre de chaque groupe moléculaire ne varie, à une température donnée et pour une matière de constitution donnée, qu’avec les situations relatives occupées par les centres de ce groupe et des groupes environnants, c’est-à-dire avec l’état statique moyen local. Seulement, ici, les changements de configuration interne des groupes sont liés aux déformations d’ensemble ou visibles, de la manière qu’il faut pour maintenir l’isotropie de la particule aux dépens de la forme et même de la distinction des groupes, au lieu de l’être, comme dans un solide déformé entre ses limites d’élasticité, de manière à conserver le mode primitif d’assemblage des molécules en groupes distincts^[4].

» Au contraire, dans les fluides un peu ou fortement visqueux (l’huile, les liquides pâteux, le goudron, etc.), l’évolution interne des groupes se fait avec lenteur, et il faut un temps plus ou moins appréciable pour que l’état élastique se reconstitue.

» Mais, quel que soit le degré de viscosité, cet état élastique, une fois produit, est, dans tous les fluides, éminemment simple, puisque, se trouvant isotrope, il ne varie, à température constante, qu’avec la place ou l’étendue totale laissée à chaque petit volume matériel pour y répartir uniformément ses molécules, c’est-à-dire, en d’autres termes, qu’avec la densité actuelle $\rho ,$ et puisqu’il n’est astreint par suite à la conservation d’aucun mode spécial de la contexture, en ce qui concerne la place de chaque molécule considérée individuellement ou suivie dans son identité aux divers endroits qu’il lui arrive d’occuper.

» La persistance ou plutôt le rétablissement incessant de l’isotropie sera donc la propriété caractéristique et comme la définition même du fluide.

» 3. Cette propriété est due à une intensité suffisante de l’agitation calorifique. — Mais il resterait à expliquer l’existence, chez tant de corps, d’une aussi merveilleuse propriété. Tout ce que l’état actuel de nos connaissances nous permet d’en savoir, c’est que la régularisation interne, le rétablissement incessant de l’isotropie, sont rendus possibles par l’amplitude des vibrations calorifiques, assez étendues dans tous les fluides pour dégager les molécules les unes des autres, et qui permettent à la matière d’y prendre, dans chaque cas, la disposition la plus stable, laquelle est naturellement la plus simple, c’est-à-dire la plus égale en tous sens, la plus homogène. Le mouvement brownien, agitation lente mais perpétuelle de l’eau et de l’air les plus calmes, rendue perceptible au microscope par l’entraînement des poussières éparses à leur intérieur, n’est peut-être que la partie visible de cette agitation, celle des particules qui, exceptionnellement, progressent dans une même direction sur une étendue et durant un temps appréciables.

» Le tassement d’une masse de sable, contenue dans un vase, au moyen de secousses multipliées imprimées au vase, phénomène où nous voyons les grains de sable affecter de même successivement un grand nombre de modes de groupement qui leur sont offerts et acquérir finalement le plus homogène possible pour le conserver désormais, peut nous faire comprendre comment l’agitation calorifique produit sans cesse dans les fluides un effet analogue, mais encore plus complet et plus rapide.

» 4. Propriétés dérivées : premièrement, normalité et constance de la pression élastique ; sa formule générale. — Si l’on conçoit tracé, dans une particule fluide à l’état élastique, un élément plan quelconque, et que l’observateur idéal juge de l’isotropie ait les pieds sur cet élément plan, en son centre de gravité, la tête suivant sa normale, la configuration moléculaire qu’il voit au-dessus et au-dessous de l’élément plan lui offre sans cesse le même aspect, de quelque angle qu’il tourne vers sa droite ou vers sa gauche. Donc la pression exercée sur cet élément plan, fonction de la configuration observée, occupe aussi, par rapport à lui, une position invariable, et ne peut qu’être dirigée suivant la normale. D’ailleurs, la configuration observée restant encore la même quand l’élément plan change ensuite de direction, la pression a, par unité d’aire, la même valeur sur tous les éléments plans menés au même endroit. Ainsi, l’isotropie entraîne la normalité des pressions et leur égalité en tous sens, circonstances que nous savons d’autre part être solidaires.

» Les forces élastiques se réduiront donc, en chaque point d’un fluide, à ce que nous avons appelé la pression moyenne $p$ (égale à $-{\tfrac {\mathrm {N} _{x}+\mathrm {N} _{y}+\mathrm {N} _{z}}{3}}$ ), qui est une pression normale, de même valeur sur tous les éléments plans se croisant en sens divers. De plus, à une température $\tau$ donnée, cette force $p$ dépendra uniquement de la densité $\rho ,$ comme l’état élastique lui-même ; en sorte qu’elle sera une certaine fonction, bien déterminée, de deux variables seulement, la densité $\rho$ et la température $\tau .$ Cette fonction croîtra avec $\rho ,$ à cause des énormes répulsions exercées entre les molécules les plus voisines, et qui grandissent très vite pour peu qu’augmente le rapprochement mutuel de celles-ci^[5]. Elle croîtra aussi généralement avec la température $\tau \ ;$ car il se produira sans cesse des rapprochements et, par suite, des augmentations de répulsion, entre un grand nombre de molécules voisines, si les vibrations calorifiques s’amplifient, sans même que les situations moyennes changent, c’est-à-dire sans que la densité varie ; et l’on conçoit que ces accroissements de répulsion excèdent, en général, les accroissements d’attraction provoqués par les écartements non moins nombreux survenus entre molécules.

» 5. Deuxièmement, quasi-incompressibilité des liquides. — Considérons, en particulier, à température constante, le cas des liquides, soit fixes, soit peu volatils, pour lesquels il existe un état où, la densité $\rho$ étant notable, la pression $p$ comprend une somme d’attractions (exercées aux distances intermoléculaires les moins petites) égale à celle des répulsions et, par conséquent, s’annule. Alors quand, à partir de cet état, la densité $\rho$ croît, la pression due aux actions intermoléculaires exercées aux distances $r$ où il y avait déjà de telles actions avant cet accroissement de $\rho ,$ varie, dans tous ses termes correspondant aux diverses valeurs de $r,$ proportionnellement à une même fonction de la densité $\rho$ (à raison surtout du nombre des actions élémentaires exercées à travers chaque élément plan, nombre qui grandit comme le carré de la densité) et elle reste nulle. Mais il s’y ajoute les fortes répulsions s’exerçant entre les molécules venues à des distances moindres que les précédentes distances minima de l’état où $p$ s’annulait, et de là résulte sans doute l’énergique pression que l’on observe alors, à laquelle est due la quasi-incompressibilité des liquides.

» 6. Troisièmement, phénomène de l’écoulement ; condition de non-rupture des fluides sans viscosité appréciable. — Les changements arbitraires de forme d’un fluide, produits avec une lenteur suffisante, qui n’altéreront pas la densité, ne feront donc naître dans le fluide aucune résistance appréciable, susceptible de s’opposer à leur continuation ou de les maintenir entre certaines limites. Aussi ces déformations pourront-elles, sans que leur cause devienne sensible, atteindre des valeurs quelconques, et, en particulier, le fluide se moulera parfaitement sur tout solide qui le touchera si légèrement que ce soit. Ce phénomène de déformation illimitée s’appelle écoulement, et la propriété qu’ont les corps dont il s’agit de le présenter, c’est-à-dire de couler, sous des efforts tellement faibles qu’ils échappent à nos mesures, est précisément celle qu’on appelle fluidité et qui leur a fait donner le nom de fluides. Elle est, en effet, plus apparente que leur isotropie persistante ou continue dont, au fond, elle dérive.

» La viscosité consiste essentiellement en ce que la pression $p$ puisse recevoir des valeurs négatives ou le corps exercer des tractions. Donc, dans les fluides non visqueux, comme l’eau, l’air, etc., la pression ne descendra jamais au-dessous de zéro d’une manière appréciable, et une condition nécessaire de non-rupture, ou de conservation de la continuité apparente de la matière, y sera $p>0.$ Cette inégalité tiendra lieu, pour les fluides dont il s’agit, de celle qui, dans la théorie de la résistance des solides, astreint les dilatations linéaires à ne dépasser nulle part une certaine limite positive à d'élasticité.

» 7. Quatrièmement, énergie interne d’un fluide à l’état élastique. — Toujours à l’état élastique, l’énergie interne d’une particule fluide par unité de masse ne pourra également dépendre, à une température donnée $\tau ,$ que de l’espace total occupé par sa matière et d’après l’étendue duquel se rangent ses molécules : ce sera donc, comme la pression $p,$ une certaine fonction des deux seules variables $\rho ,$ $\tau ,\ \ldots$

(Je supprime le reste de ce numéro et le numéro suivant, à peu près étrangers au sujet de la présente publication.)

» 9. Des fluides à l’état non élastique ou éprouvant des déformations rapides ; idée et nécessité physique de leurs frottements intérieurs. — Il est clair que les lois simples d’état élastique, dont je viens de parler, ne s’observeront généralement plus dans les fluides en mouvement doués de viscosité. Même dans ceux qui le seront le moins ou qui ne le seront pas d’une manière appréciable, comme l’eau et les gaz, les groupes moléculaires n’auront pas le temps, si les déformations d’ensemble de la particule considérée sont rapides, d’atteindre tout à fait, à chaque instant, leur disposition interne appropriée à la disposition actuelle des centres de ces groupes, et qui constituerait leur forme permanente si cette disposition persistait. Seulement, les écarts qu’il y aura entre la configuration moléculaire effective de la particule et sa configuration isotrope ou élastique, seront assez faibles pour ne modifier d’ordinaire les pressions que de petites fractions de leurs valeurs. Vu d’ailleurs l’extrême rapidité avec laquelle ils s’évanouiraient si les déformations d’ensemble de la particule venaient à s’arrêter, ils ne dépendront, à fort peu près, que du mouvement actuel, caractérisé par les vitesses, non des mouvements antérieurs, définis jusqu’à un certain point par les dérivées de divers ordres des vitesses par rapport au temps, et dont les effets sur l’état statique interne des groupes moléculaires se seront déjà effacés.

» Donc, étant donnée en outre l’isotropie du fluide dans son état élastique, considéré comme état primitif ou état type relativement à son état vrai, les parties non élastiques des pressions, celles qu’ajoutent à la pression élastique ou primitive, uniforme et normale, les écarts de configuration interne dus au mouvement, se trouveront à fort peu près pareilles dans deux particules fluides de même nature, prises tant à une même densité qu’à une même température, et subissant actuellement, durant un temps très court, le même ensemble de déformations rapportées à l’unité de temps, quelle qu’en soit l’orientation.

» Les composantes tangentielles de ces parties non élastiques des pressions sont, à proprement parler, les forces auxquelles on a donné le nom de frottements intérieurs du fluide.

» Il nous sera facile, plus loin, du moins dans le cas de déformations bien continues, de les évaluer, ainsi que les parties analogues des composantes normales des pressions. Mais il importe, dès à présent, d’observer que l’existence de frottements intérieurs, de pressions obliques et inégales en divers sens, dans les fluides qui se déforment avec une vitesse suffisante, ne constitue pas une propriété de ces corps purement accidentelle, ou susceptible de disparaître en laissant subsister dans l’état de mouvement la fluidité parfaite (c’est-à-dire la normalité et l’égalité en tous sens des pressions) dont ils jouissent dans l’état de repos. Car on voit que cette imperfection de la fluidité d’un fluide qui se déforme est essentielle, comme inséparable de la cause même qui produit la fluidité, savoir, du rétablissement incessant, mais qui ne saurait être tout à fait instantané, de l'isotropie sans cesse détruite par les déformations.

» Il est clair que, de même, l'énergie interne, également fonction (comme les pressions) de la température et de l'état statique vrai des groupes moléculaires, deviendra, elle aussi, fonction des vitesses de déformation de la particule, auxquelles se trouvent liés les écarts de l'état interne réel d'avec l'état élastique. »

↑ On me saura peut-être gré de publier ici, à la fin d’une étude concernant, en définitive, le frottement intérieur des fluides, la première des leçons que je donne tous les trois ans sur ces corps dans mon Cours de la Sorbonne, leçon où je m’efforce de faire comprendre à mes auditeurs tout à la fois la possibilité ou même la réalisation fréquente de la fluidité parfaite à l’état d’équilibre, et son impossibilité, ou la nécessité des frottements intérieurs, à l’état de mouvement.
↑ Voir, au sujet de cet état moyen local, la sixième de mes Leçons synthétiques de Mécanique générale servant d’Introduction au Cours de Mécanique physique de la Faculté des Sciences de Paris (p. 72 à 77).
↑ Voir la VII^e de mes Leçons synthétiques de Mécanique générale, etc., p. 83 et 84.
↑ Aussi les solides que l’on appelle isotropes le sont-ils seulement dans leur état choisi comme primitif, ou lorsque, à partir de cet état, ils changent de volume sans changer de forme, grâce à une égale contraction ou dilatation en tous sens. Les plus petites déformations suffisent pour les rendre, comme on dit, actuellement hétérotropes ou anisotropes, quoique fort peu ; et il importe d’observer que la qualification de corps isotrope, quand on la leur applique, se rapporte uniquement à leur état naturel ou primitif : c’est une restriction convenue, bien qu’implicite, que l’on apporte, en traitant de ces corps, au sens du mot isotropie.
↑ Leçons synthétiques de Mécanique générale, p. 43 à 50 et p. 106.

[1] On me saura peut-être gré de publier ici, à la fin d’une étude concernant, en définitive, le frottement intérieur des fluides, la première des leçons que je donne tous les trois ans sur ces corps dans mon Cours de la Sorbonne, leçon où je m’efforce de faire comprendre à mes auditeurs tout à la fois la possibilité ou même la réalisation fréquente de la fluidité parfaite à l’état d’équilibre, et son impossibilité, ou la nécessité des frottements intérieurs, à l’état de mouvement.

[2] Voir, au sujet de cet état moyen local, la sixième de mes Leçons synthétiques de Mécanique générale servant d’Introduction au Cours de Mécanique physique de la Faculté des Sciences de Paris (p. 72 à 77).

[3] Voir la VII^e de mes Leçons synthétiques de Mécanique générale, etc., p. 83 et 84.

[4] Aussi les solides que l’on appelle isotropes le sont-ils seulement dans leur état choisi comme primitif, ou lorsque, à partir de cet état, ils changent de volume sans changer de forme, grâce à une égale contraction ou dilatation en tous sens. Les plus petites déformations suffisent pour les rendre, comme on dit, actuellement hétérotropes ou anisotropes, quoique fort peu ; et il importe d’observer que la qualification de corps isotrope, quand on la leur applique, se rapporte uniquement à leur état naturel ou primitif : c’est une restriction convenue, bien qu’implicite, que l’on apporte, en traitant de ces corps, au sens du mot isotropie.

[5] Leçons synthétiques de Mécanique générale, p. 43 à 50 et p. 106.

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