Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/XIV

Joseph Boussinesq

Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, Tome 1

Gauthier-Villars et Fils, 1897 (p. 47-49).

§ XIV. — Expression la plus approchée possible du coefficient $\varepsilon$ de frottement dans les tuyaux circulaires.

» 52. L’expression empirique (59) de $\Psi (\tau ),$ destinée à relier le mieux possible de faibles résultats d’observation atteignant presque en petitesse la limite des erreurs admissibles, ne peut guère être différentiée, vu le peu de précision avec lequel s’y trouve déterminée en chaque point la direction de la courbe qui la représente ; et il est, surtout, presque illusoire d’extrapoler sa dérivée jusqu’à la limite $\tau =1,$ où $\Psi (\tau )$ varie le plus vite. Faisons-le cependant, pour obtenir tout au moins quelques indications sur la fonction $\psi (\tau )$ que définit (47) et, par suite, sur le coefficient $\varepsilon$ de frottement intérieur, dont la valeur égale, d’après (16), le quotient, par $\tau +\psi (\tau ),$ de celle qui est relative à un canal rectangulaire large pour même vitesse à la paroi et même rayon moyen. Il viendra

(61)

$\psi (\tau )=0,576-2,131\tau +6,744\tau ^{2}-15,213\tau ^{3}+10,738\tau ^{4}.$

» À la limite $\tau =1,$ le calcul donne $\psi (\tau )=0,71,$ valeur bien grande pour être facilement acceptable, puisqu’elle excède les ${\tfrac {2}{3}}$ de celle, 1, que fournit dans le dénominateur de $\varepsilon ,$ le terme principal $\tau .$ Quoi qu’il en soit, l’expression de $\varepsilon$ sera, en appelant $\varepsilon _{0}$ sa valeur dans un canal rectangulaire large pour même rayon moyen et même vitesse à la paroi,

(62)

$\varepsilon ={\frac {\varepsilon _{0}}{\tau +\psi (\tau )}}={\frac {\varepsilon _{0}}{0,576-1,131\tau +6,744\tau ^{2}-15,213\tau ^{3}+10,738\tau ^{4}}}.$

» 53. Pour les valeurs de $r$ inscrites au Tableau (46), mais disposées dans l’ordre inverse et avec adjonction de $\tau =1,$ $\tau =0,8,$ $\tau =0,1,$ $\tau =0,$ savoir,

pour $\tau =1\ \ 0,9375\ \ 0,875\ \ 0,8\ \ 0,750\ \ 0,625\ \ 0,500\ \ 0,375\ \ 0,250\ \ 0,125\ \ 0,1\ \ 0,$

le dénominateur de (62) devient respectivement

$\tau +\psi (\tau )=1,71\ \ 1,20\ \ 0,85\ \ 0,60\ \ 0,50\ \ 0,43\ \ 0,47\ \ 0,51\ \ 0,52\ \ 0,51\ \ 0,52\ \ 0,58.$

» On voit que ses variations sont assez complexes : supérieur à $\tau ,$ des ${\tfrac {7}{10}}$ environ, pour $\tau =1,$ c’est-à-dire sur la paroi, il décroît, d’abord même très rapidement, dès qu’on se dirige vers l’axe, égale l’unité dans le voisinage de $\tau =0,9$ et devient inférieur à $\tau$ vers $\tau =0,88,$ puis minimum vers $\tau =0,6,$ pour surpasser de nouveau $\tau$ vers $\tau =0,48,$ ou un peu après le milieu $\tau =0,5$ des rayons, et ne plus beaucoup varier ensuite, tout en augmentant cependant, surtout à l’approche de l’axe $\tau =0,$ et abstraction faite d’un maximum et d’un minimum à peine saisissables vers $\tau =0,250$ et $\tau =0,125$^[1]. On pourrait presque le regarder comme constant et égal à ${\tfrac {1}{2}}$ depuis $\tau =0,75,$ ou même un peu avant, jusqu’à $\tau =0,$ c’est-à-dire dans toute une région centrale d’une aire équivalente aux ${\tfrac {3}{5}}$ environ de la section totale, tandis qu’il éprouverait un accroissement rapide, dans le rapport de 0,5 à 1,7, ou de 5 à 17, sur tout le pourtour de cette région centrale, savoir dans l’espace occupé par le dernier quart des rayons à partir de l’axe ou par leur premier quart à partir de la paroi.

» Donc le coefficient $\varepsilon$ de frottement intérieur, inverse de $\tau +\psi (\tau ),$ ne serait guère, à la paroi, que les ${\tfrac {10}{17}}$ de sa valeur $\varepsilon _{0}$ relative à section rectangulaire large ; mais il grandirait très vite à partir de la paroi, au point d’atteindre $\varepsilon _{0}$ vers le premier dixième de la longueur des rayons, et d’excéder $2\varepsilon _{0}$ sur un certain parcours, depuis leur premier quart jusque après leur milieu (vers $\tau =0,4$), en se maintenant supérieur à sa valeur approximative, exprimée par la seconde formule (15), depuis $\tau 0,88$ environ jusqu’à $\tau =0,48$ environ. Au delà, c’est-à-dire sur presque tout le quart central de l’aire totale des sections, non seulement il serait dessous de ce que donne la seconde formule (15), mais même il décroîtrait légèrement jusque vers le centre, autour duquel il se maintiendrait, sur le dernier tiers des rayons, assez voisin de $1,9\varepsilon _{0}.$

1. Il n’a pas d’ailleurs d’autres maxima et minima que les trois signalés ici : car sa dérivée, du troisième degré en $\tau$ et par suite incapable de s’annuler plus de trois fois, prend les valeurs respectives, à signes alternés, -0,196, 0,010, -0,428, 1,433, pour $\tau =0,10,$ $\tau =0,15,$ $\tau =0,50,$ $\tau =0,75\ ;$ donc ces valeurs de $\tau$ séparent bien les trois racines pour lesquelles se produisent les maxima et minima de la fonction $\tau +\psi (\tau )$ trouvée.