§ X. — Retour au cas des grandes sections : lois spéciales aux sections rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires.
» 37. Passons maintenant aux cas particulièrement intéressants où la vitesse à la paroi peut être supposée constante.
» Le plus simple est celui d’une section rectangulaire large, suivant la profondeur
ou
de laquelle nous dirigerons vers le bas l’axe des
à partir du centre s’il s’agit d’un tuyau de hauteur intérieure
et à partir de la surface libre s’il s’agit d’un canal découvert de profondeur
Le premier as, vu la symétrie des vitesses de part et d’autre du diamètre ou de la médiane parallèle aux
se ramène au second, plus pratique, où
ne varie que de zéro à
et où la dérivée de
en
s’annule aussi pour
en vertu de la condition spéciale à la surface libre. Bornons-nous donc à ce cas.
» La largeur est supposée assez grande pour que
ne dépende pas, dans (30), de la première variable
et l’autre variable,
y représente le rapport de
au rayon moyen
c’est-à-dire la distance des divers points à la surface libre en prenant pour unité la profondeur totale. D’ailleurs, la première formule (15) de
donne
dans le système (30), où l’on a déjà
et enfin, pour
Il vient donc immédiatement
et les formules (32), (34), (35) sont
(37)
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» L’avant-dernière est précisément celle que M. Bazin a obtenue par l’observation des vitesses à diverses profondeurs, sur une verticale équidistante des deux bords, dans un grand nombre de canaux dont la largeur, il est vrai, contenant seulement de 5 à 8 fois la profondeur, était insuffisante pour qu’on pût négliger l’action retardatrice du frottement des bords sur la vitesse maxima
au milieu de la surface. Le coefficient, 20 environ, qui y affectait
est donc moindre que
de sorte que le nombre
de nos formules doit excéder assez sensiblement 40.
» 38. Supposons actuellement qu’il s’agisse d’un tuyau circulaire ou, ce qu’on sait revenir au même, d’un canal demi-circulaire coulant à pleins bords, avec
c’est-à-dire avec homogénéité des parois dans les deux cas. Appelons
le rapport, au rayon
de la distance
à l’axe, ou de
autrement dit, posons
(38)
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d’où
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» Les fonctions
dépendront uniquement de
et la première d’entre elles,
sera, d’après (16), l’inverse de
D’ailleurs,
se réduisant à l’unité, tandis que
ou
(à la limite
), ne sera autre chose que
le système (30) deviendra aisément
(39)
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» La première, multipliée par
s’intègre immédiatement, à une constante arbitraire près que détermine la seconde. Après quoi, une nouvelle intégration donne, vu la troisième relation (39),
(40)
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ou
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en posant, pour abréger,
(41)
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» Telle est la valeur qu’il faudra substituer à
dans les relations (32) à (35), et dont la moyenne
s’obtiendra, comme celle de toute autre fonction de
aux divers points d’un cercle
de rayon
en multipliant par
et intégrant de zéro à 1. Si l’on observe que la vitesse maxima
se produit, par raison de symétrie, sur l’axe
les formules (32), (34), (35) deviendront
(42)
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binôme
augmentation inverse du rayon moyen et fortement croissante avec le degré de rugosité.
L’introduction de ce facteur binôme s’explique donc autrement et mieux que par une tendance lointaine, dès lors vague, de l’écoulement vers les lois de Poiseuille. On observe vraiment une tendance vers ces lois, bien accusée, c’est-à-dire une diminution assez notable de l’agitation pour amener un régime intermédiaire entre celui des grandes sections et celui des petits tubes, quand, dans l’hypothèse de parois polies ou modérément rugueuses, on a des rayons moyens de quelques centimètres seulement et des vitesses allant environ de 0m, 1 à 1m. Mais alors le produit
garde à peu près, comme dans les deux régimes extrêmes considérés, la forme
avec un coefficient constant
et un exposant
égal à
c’est-à-dire justement moyen entre les deux valeurs 0 et 1 qui correspondent à ces deux régimes. Les variables
au lieu de s’y séparer comme dans la formule (36), continuent donc à n’y figurer que par leur produit, ou à peu près. Et l’on a
![{\displaystyle \mathrm {I} {\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}=\gamma {\sqrt {{\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {1}{\mathrm {U} }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d57b137af4ef6d52b5a89406c22e80d2d5234e9)
ou
![{\displaystyle \mathrm {I} \left({\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{\mathrm {U} }}\right)^{\frac {3}{2}}=\gamma ,\quad \mathrm {U} =\gamma ^{-{\frac {2}{3}}}{\frac {\sigma }{\chi }}\mathrm {I} ^{\frac {2}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dab6a731eaa01e9cf7fd742bd9a45e1e1d0e0f)
La vitesse moyenne est proportionnelle au rayon moyen et à la puissance
de la pente motrice. Ce cas intermédiaire s’est présenté, dans les Recherches hydrauliques de M. Bazin, pour les quatre séries d’expériences 28, 29, 30, 31 (p. 103 à 106), faites sur un petit canal rectangulaire de Om, 1 de largeur, poli dans les deux premières séries, rendu rugueux par un revêtement en forte toile dans les deux dernières. Le coefficient
y était très sensiblement 0,00004 dans le premier cas (où les expériences ont donnée en moyenne
pour
pour
), et environ, mais d’une manière moins précise, 0,000115 dans le second cas (où elles ont donné
pour
et
pour
). Le quotient
de l’expression
que considère M. Bazin, par
était donc 0,00117 dans le canal poli et environ 0,00236, ou le double, dans le canal rugueux.