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« Le Principe de relativité » : différence entre les versions

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et ''x′'', ''y′'', ''z′'', ''t′'', pour l’autre :
 
{{MathForm1|<small>(1)</small>|<small><math>\textstyle x = x'+ vt',\qquad y = y',\qquad z = z',\qquad t = t'.</math></small>}}
 
Ces formules caractérisent une transformation
Ligne 153 :
de même forme avec une valeur de la vitesse égale à
 
{{MathForm1|<small>(2)</small>|<small><math>\textstyle v'' = v + v',</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">c’est, pour le cas simple actuel, la loi bien connue de
Ligne 251 :
forme
 
{{MathForm1|<small>(3)</small>|<small><math>\textstyle m \frac{d^2 x}{dt^2} = F,</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">F étant la composante dans la direction des ''x'' de la
Ligne 259 :
d’invariance de la masse
 
{{MathForm1|<small>(4)</small>|<small><math>\textstyle m = m',</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">et la condition qui traduit dans notre cas particulier
le caractère vectoriel de la force</p>
 
{{MathForm1|<small>(5)</small>|<small><math>\textstyle F=F',</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">nous obtenons, comme conséquence de (1), (3), (4)
et (5),</p>
 
{{MathForm1|<small>(6)</small>|<small><math>m'\textstyle \frac{d^2 x'}{dt'^2} = F',</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">c’est-à-dire que ''les équations de la Mécanique conservent leur forme quand on passe d’un système de référence à un autre en mouvement de translation uniforme par rapport au premier''. Ce fait traduit analytiquement
Ligne 327 :
ce résultat pour ce qui concerne les expériences dites
du premier ordre, c’est-à-dire celles dont la précision
est comprise entre <small><math>\textstyle \frac{1}{10\,000}</math></small> (nombre égal au rapport à
la vitesse de la lumière des 30{{lié}}km par seconde que
doit atteindre au moins un moment au cours de
l’année, la vitesse de la Terre par rapport au milieu),
et le carré de ce rapport, soit <small><math>\textstyle \frac{1}{100\,000\,000}</math></small> ou 10{{e|-8}}.
 
{{brn|1}}
Ligne 348 :
doit être égale à
 
{{centré|<small><math>\textstyle \frac{1}{2} \frac{v^2}{V^2}</math></small> ou <small><math>\textstyle \frac{\beta^2}{2}</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">en posant</p>
 
{{centré|<small><math>\textstyle \beta = \frac{v}{V}</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">où ''v'' représente la vitesse du mouvement d’ensemble
Ligne 388 :
change avec son orientation par rapport à la direction
du mouvement : une dimension quelconque d’un corps
quelconque doit se contracter dans le rapport <small><math>\textstyle \sqrt{1-\beta^2}</math></small>
quand elle passe d’une direction perpendiculaire à la
direction même du mouvement.
Ligne 492 :
principe de relativité restreinte
 
{{MathForm1|<small>(3)</small>|<small><math>\textstyle \begin{cases}x = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(x'+vt'),\\
y = y',\\
z = z',\\
t = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(t'+ \frac{vx'}{V^2}\right)\end{cases}</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">en posant toujours</p>
 
{{centré|<small><math>\textstyle \beta = \frac{v}{V}</math></small>}}
 
Ces transformations forment encore un groupe
Ligne 507 :
facile permet de s’en assurer, par la relation
 
{{MathForm1|<small>(4)</small>|<small><math>\textstyle v'' = \frac{v+v'}{1 + \frac{vv'}{V^2}}\quad</math> ou <math>\quad \frac{\beta+\beta'}{1+\beta\beta'}</math>.</small>}}
 
On donne à ce groupe le nom de groupe de Lorentz
Ligne 746 :
a pour composante dans la direction des ''x''
 
{{centré|<small><math>\textstyle v'= \frac{dx'}{dt'},</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">et dont la vitesse par rapport aux observateurs O a
pour composante dans cette même direction</p>
 
{{centré|<small><math>\textstyle v'' = \frac{dx}{dt}</math>.</small>}}
 
Il suffit de différencier la première et la dernière
Ligne 759 :
de vitesses
 
{{centré|<small><math>\textstyle v'' = \frac{v+v'}{1 + \frac{vv'}{V^2}}</math>.</small>}}
 
Il est facile de vérifier sur cette formule que <i>la
Ligne 799 :
de ces ondes par rapport au milieu est donnée par
 
{{centré|<small><math>\textstyle U'= \frac{V}{n},</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">conformément au résultat des mesures directes de
Ligne 807 :
vitesse des ondes par rapport à ceux-ci est</p>
 
{{centré|<small><math>\textstyle U'' = U'+ v\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)</math>.</small>}}
 
Au point de vue de la cinématique ancienne, il
faut, pour avoir ''U″'' composer avec ''U′'' une fraction
seulement <small><math>\textstyle 1-\frac{1}{n^2}</math></small> de la vitesse d’entraînement ''v''. C’est
la loi d’entraînement partiel des ondes, plus singulière
encore quand on l’énonce comme faisait Fresnel en
Ligne 824 :
vitesse d’entraînement ''v'' ; il vient
 
{{centré|<small><math>\textstyle U'' = \frac{U'+v}{1+\frac{U'v}{V^2}} = U'+v\left(1-\frac{U'^2}{V^2}\right) = U'+v\left(1-\frac{1}{n^2}\right)</math></small>{{corr|.|,}}}}
 
<p style="text-indent:0">en limitant le développement aux termes du premier
Ligne 837 :
La relation
 
{{centré|<small><math>\textstyle t = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(t'+\frac{vx'}{V^2}\right),</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">montre que, contrairement à ce qui se passe en cinématique
Ligne 857 :
De même la formule
 
{{centré|<small><math>\textstyle x = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(x'+vt')</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">montre que pour ''t′''{{lié}}={{lié}}0 on a</p>
 
{{centré|<small><math>\textstyle x = \frac{x'}{\sqrt{1-\beta^2}},</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">c’est-à-dire que deux événements simultanés pour les
observateurs O′ ont pour ceux-ci une distance dans
l’espace (''x{{sp|0.16em|′}}'') plus petite dans le rapport <small><math>\textstyle \sqrt{1-\beta^2}</math></small> que
pour d’autres observateurs O en mouvement de translation
par rapport à eux avec la vitesse ''v''{{lié}}={{lié}}''β''&#x202F;{{corr|V|''V''}}. En
Ligne 877 :
relation précédente, on aura
 
{{centré|<small><math>\textstyle x'= x \,\sqrt{1-\beta^2}</math>.</small>}}
 
Cette relation est d’ailleurs réciproque : si la règle
Ligne 885 :
simultanés pour eux (''t''{{lié}}={{lié}}0) et l’on aurait
 
{{centré|<small><math>\textstyle x = x' \,\sqrt{1-\beta^2}</math>.</small>}}
 
Ceci est la forme sous laquelle la contraction de
Ligne 911 :
le temps et une distance dans l’espace donnés par
 
{{centré|<small><math>\textstyle t=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{vx'}{V^2},\qquad \qquad x=\frac{x'}{\sqrt{1-\beta^2}},</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">d’où</p>
 
{{centré|<small><math>\textstyle x = \frac{V^2}{v} t = \frac{Vt}{\beta} > Vt</math>.</small>}}
 
Il résulte de cette inégalité que le caractère relatif
Ligne 949 :
transformation (3) laisse invariante l’expression
 
{{MathForm1|<small>(5)</small>|<small><math>\textstyle s^2 = V^2\,t^2 - x^2 - y^2 - z^2,</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">ou, s’il s’agit d’événements infiniment voisins, l’expression</p>
 
{{MathForm1|<small>(6)</small>|<small><math>\textstyle \mathrm{d}s^2 = V^2\,\mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}x^2 - \mathrm{d}y^2 - \mathrm{d}z^2,</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">c’est-à-dire qu’on a identiquement</p>
 
{{centré|<small><math>\textstyle \mathrm{d}s^2 = V^2\,\mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}x^2 - \mathrm{d}y^2 - \mathrm{d}z^2 = V^2\,\mathrm{d}t'^2 - \mathrm{d}x'^2 - \mathrm{d}y'^2 - \mathrm{d}z'^2</math>.</small>}}
 
Cet invariant joue, dans la théorie de la relativité,
Ligne 1 076 :
par les deux événements, aura pour expression
 
{{MathForm1|<small>(7)</small>|<small><math>I = \int_{A}^{B} \mathrm{d}s,</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">l’intégrale étant étendue à tous les couples d’événements
Ligne 1 098 :
simple,
 
{{MathForm1|<small>(8)</small>|<small><math>\delta \int \mathrm{d}s = 0</math>.</small>}}
 
On remarquera que cet énoncé ''d’action stationnaire''
Ligne 1 133 :
dans l’espace est nulle,
 
{{MathForm1|<small>(9)</small>|<small><math>\textstyle \mathrm{d}s^2 = V^2\,\mathrm{d}\tau^2 \qquad </math> ou <math>\qquad \mathrm{d}s = V \mathrm{d}\tau</math>.</small>}}
 
Nous donnerons à d''τ'' le nom, qui s’impose d’après
Ligne 1 148 :
libre, on a, le long de cette ligne,
 
{{MathForm1|<small>(10)</small>|<small><math>\int_{A}^B \mathrm{d}s = V \int_{A}^B \mathrm{d}\tau</math>.</small>}}
 
C’est donc le mouvement rectiligne et uniforme
Ligne 1 159 :
et l’on a, d’après la définition de d''s''{{e|2}},
 
{{centré|<small><math>\textstyle \mathrm{d}s^2 = V^2\,\mathrm{d}t^2 - v^2\,\mathrm{d}t^2 = V^2(1 - \beta^2)\,\mathrm{d}t^2,</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">d’où</p>
 
{{MathForm1|<small>(11)</small>|<small><math>\textstyle \mathrm{d}\tau = \sqrt{1-\beta^2}\,\mathrm{d}t</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">et</p>
 
{{centré|<small><math>\int_{A}^B \mathrm{d}\tau = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1-\beta^2}\,\mathrm{d}t,</math></small>}}
 
<p style="text-indent:0">où ''t''<sub>1</sub> et ''t''<sub>2</sub> sont les instants auxquels se passent les
événements extrêmes A et B pour les observateurs O.
La présence du facteur <small><math>\textstyle \sqrt{1-\beta^2}</math></small> montre que plus le
mouvement entre A et B différera d’un mouvement
rectiligne et uniforme, plus par conséquent les vitesses
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