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« Le Principe de relativité » : différence entre les versions

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de Lorentz (3) quand on suppose dans cette
dernière que la vitesse ''V'' devient infinie, ce qui
revient à donner dans (3) la valeur zéro à ''β''. On
retombe ainsi sur les relations (1).
 
Ligne 733 :
de la lumière dans la cinématique de la relativité. On
voit immédiatement que les relations (3) n’ont de sens
que si ''β''{{lié}}<{{lié}}1, c’est-à-dire si les deux systèmes de référence
ont une vitesse relative ''v'' inférieure à la vitesse
de la lumière, ce qui revient à dire que deux portions
Ligne 810 :
 
Au point de vue de la cinématique ancienne, il
faut, pour avoir ''U″'' composer avec ''U′'' une fraction
seulement <math>\textstyle 1-\frac{1}{n^2}</math> de la vitesse d’entraînement ''v''. C’est
la loi d’entraînement partiel des ondes, plus singulière
Ligne 818 :
avec la fréquence des ondes propagées puisque l’indice
''n'' dépend de cette fréquence.
Appliquons, au contraire la nouvelle loi (4) de▼
composition en faisant v’égal à U’, c’est-à-dire en▼
composant la vitesse relative U’des ondes avec la▼
vitesse d’entraînement v ; il vient▼
 
▲Appliquons, au contraire la nouvelle loi (4) de
{{centré|<math>\scriptstyle U'' = \frac{U'+v}{1 + \frac{U'*v}{V^2}} = U'+v[1 - \frac{U'^2}{V^2}] = U'+v(1 - \frac{1}{n^2})</math>}}▼
▲composition en faisant v’égal''v′'' égal à U’''U′'', c’est-à-dire en
▲composant la vitesse relative U’des''U′'' des ondes avec la
▲vitesse d’entraînement ''v'' ; il vient
 
▲{{centré|<math>\scriptstyletextstyle U'' = \frac{U'+v}{1 + \frac{U'*v}{V^2}} = U'+v[\left(1 - \frac{U'^2}{V^2}]\right) = U'+v\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)</math>{{corr|.|,}}}}
en limitant le développement aux termes du premier▼
 
▲<p style="text-indent:0">en limitant le développement aux termes du premier
ordre. La loi d’entraînement n’a qu’une signification
purement cinématique, immédiate et simple au possible.</p>
 
{{brn}}
11. ''Le temps et l’espace relatifs''. — Dégageons
quelques aspects particulièrement remarquables de la
cinématique nouvelle.
 
La relation
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle t = \frac{1}{ \sqrt{(1-\beta^2)}}.\left(t'+ \frac{v*xvx'}{V^2}\right),</math>}}
 
<p style="text-indent:0">montre que, contrairement à ce qui se passe en cinématique
ordinaire, l’intervalle de temps entre deux
événements (par exemple entre l’événement origine
et l’événement noté ''x'', ''y'', ''z'', ''{{sp|0.16em|t}}'') n’est pas mesuré de la
même manière par les observateurs O et O’O′, puisque ''t''
est différent de t’''t′'' (sauf, comme il est facile de s’en
assurer, lorsque x’et''x′'' t’sontet ''t′'' sont simultanément nuls,
c’est-à-dire lorsqu’il y a coïncidence absolue des deux
événements au sens que j’ai indiqué plus haut).</p>
 
''Si, <i>pour les observateurs</i> O’O′, <i>les deux événements
coïncident dans le temps''</i>, c’est-à-dire ''sont simultanés''
(''t''{{lié}}={{lié}}0), sans coïncider dans l’espace (x’différent''x′'' différent de
zéro), ''t'' est différent de zéro, c’est-à-dire que ''les
''événements ne sont pas simultanés pour les observateurs O'' O.
 
De même la formule
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle x = \frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)}}.(x'+vt')</math>}}
 
<p style="text-indent:0">montre que pour t’''t′''{{lié}}={{lié}}0 on a</p>
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle x = \frac{x'}{\sqrt{(1-\beta^2)}},</math>}}
 
<p style="text-indent:0">c’est-à-dire que deux événements simultanés pour les
observateurs O’ontO′ ont pour ceux-ci une distance dans
l’espace (x’''x{{sp|0.16em|′}}'') plus petite dans le rapport <math>\textstyle \sqrt({1-\beta^2)}</math> que
pour d’autres observateurs O en mouvement de translation
par rapport à eux avec la vitesse ''v ''{{lié}}= beta*{{lié}}''β''&#x202F;{{corr|V|''V''}}. En
particulier, supposons les observateurs O liés à une
règle parallèle à la direction du mouvement relatif et
qui pour eux a la longueur ''x''. Pour les observateurs O’O′,
cette règle est mobile par rapport à eux et sa longueur
est définie comme la distance x’dans''x′'' dans l’espace entre les
événements que sont les présences ''simultanées'' (pour
eux) des deux extrémités de la règle. En vertu de la
relation précédente, on aura
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle x'= x* \sqrt{(1-\beta^2)}</math>.}}
 
Cette relation est d’ailleurs réciproque : si la règle
était liée aux observateurs O’O′, sa longueur pour les
observateurs O par rapport auxquels elle est mobile
serait la distance dans l’espace des deux événements
simultanés pour eux (''t''{{lié}}={{lié}}0) et l’on aurait
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle x = x'* \sqrt{(1-\beta^2)}</math>.}}
 
Ceci est la forme sous laquelle la contraction de
Ligne 886 ⟶ 891 :
elle est réciproque puisqu’il résulte de ce qui précède
que si deux règles égales glissent l’une contre l’autre
avec la vitesse ''v'', des observateurs liés à l’une quelconque
des règles voient l’autre plus courte que la leur.
 
On voit que cette contraction n’a plus le caractère
absolu que lui donnait la cinématique ordinaire : elle
Ligne 899 ⟶ 905 :
il n’est pas surprenant qu’ils ne voient pas la même
forme au même corps.
 
Deux événements simultanés pour les observateurs
O’O′(t’''t′''{{lié}}={{lié}}0) et distants pour eux de x’dans''x′'' dans l’espace
ont ainsi pour les observateurs O un intervalle dans
le temps et une distance dans l’espace donnés par
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle t = \frac{1}{ \sqrt{(1-\beta^2)}}. \frac{v*xvx'}{V^2},\qquad \qquad x = \frac{x'}{ \sqrt{(1-\beta^2)}},</math>}}
 
<p style="text-indent:0">d’où</p>
d’où
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle x = ( \frac{V^2}{v}). t = \frac{V*tVt}{\beta} > V*tVt</math>.}}
 
Il résulte de cette inégalité que le caractère relatif
Ligne 916 ⟶ 923 :
du temps, qu’aucun signal ne peut se propager avec
une vitesse supérieure à celle de la lumière. Pas plus
pour les observateurs O’O′, pour lesquels les deux
événements sont simultanés, que pour les observateurs
O, pour lesquels leur distance ''x'' dans l’espace est supérieure
au chemin parcouru par la lumière pendant
leur intervalle dans le temps ''t'', un lien de cause à effet
ne pourra être établi entre eux. Il n’y a donc aucune
difficulté logique à ce que leur ordre de succession
puisse être modifié par un changement du système
de référence.
 
Si, au contraire, les deux événements sont tels
que pour un système de référence quelconque on ait
''x ''{{lié}}< V*t{{lié}}''Vt'', c’est-à-dire tels qu’un signal lumineux permette
au premier d’influer sur le second, il est facile
de voir, d’après les équations (3), que cette inégalité
Ligne 935 ⟶ 943 :
peut être établi entre eux par l’intermédiaire d’un
signal lumineux ou de tout autre procédé moins rapide
que la lumière.

Les mêmes conséquences peuvent s’obtenir
peut-être plus simplement en remarquant que la
transformation (3) laisse invariante l’expression
 
{{centréMathForm1|(5)|<math>\scriptstyletextstyle s^2 = (V^2)*(\,t^2) - (x^2) - (y^2) - (z^2),</math>}}
 
(5)
 
ou, s’il s’agit d’événements infiniment voisins, l’expression▼
 
▲<p style="text-indent:0">ou, s’il s’agit d’événements infiniment voisins, l’expression</p>
{{centré|<math>\scriptstyle ds^2 = (V^2)*(dt^2) - (dx^2) - (dy^2) - (dz^2)</math>}}
 
{{MathForm1|(6)|<math>\textstyle \mathrm{d}s^2 = V^2\,\mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}x^2 - \mathrm{d}y^2 - \mathrm{d}z^2,</math>}}
(6)
 
<p style="text-indent:0">c’est-à-dire qu’on a identiquement</p>
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle ds\mathrm{d}s^2 = (V^2)*(dt\,\mathrm{d}t^2) - (dx\mathrm{d}x^2) - (dy\mathrm{d}y^2) - (dz\mathrm{d}z^2) = (V^2)*(dt\,\mathrm{d}t'^2) - (dx\mathrm{d}x'^2) - (dy\mathrm{d}y'^2) - (dz\mathrm{d}z'^2)</math>.}}
 
Cet invariant joue, dans la théorie de la relativité,
Ligne 965 ⟶ 971 :
distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées.
 
" ''<i>De même encore que la géométrie affirme l’existence
d’un espace indépendant des systèmes particuliers de
coordonnées qui servent à en repérer les points, et permet
d’en énoncer les lois sous une forme intrinsèque grâce à
l’introduction d’éléments invariants''</i> (distances, angles,
surfaces, volumes, {{lié}}etc.), ''<i>la physique, par l’intermédiaire
du principe de relativité, affirme l’existence d’un Univers
indépendant du système de référence qui sert à repérer
les événements'' ".</i>
 
Le principe de relativité, sous la forme restreinte
Ligne 994 ⟶ 1 000 :
conforme au principe de relativité, ce que la géométrie
pure est à la géométrie analytique.
 
L’invariant que nous venons de rencontrer sous
les formes (5) ou (6) est le plus fondamental et correspond
à la distance en géométrie.
 
{{brn}}
12. ''La possibilité d’influence ou d’action''. — Il importe,
à titre d’exemple, d’insister sur la signification
physique de ce premier invariant. Si deux événements
sont tels que leur distance dans l’espace (dont les composantes
sont ''x'', ''y'', ''z'') est inférieure au chemin V*t''Vt''
parcouru par la lumière pendant leur intervalle dans
le temps, ''s^''{{e|2}} est positif et il en résulte, à cause de
l’invariance de ''s^''{{e|2}}, que la relation qui vient d’être
énoncée entre les deux événements a un sens absolu,
qu’elle est satisfaite dans tous les systèmes de référence
d’où l’on peut observer les deux événements considérés.
Quand cette condition est remplie, c’est-à-dire quand ''s''
est réel, un signal ou un messager se déplaçant moins
vite que la lumière permet à l’un des événements
Ligne 1 015 ⟶ 1 023 :
le second. Il est facile de voir d’après les formules
du groupe de Lorentz que dans ce cas, conformément
au principe de causalité, Tordrel’ordre de succession
des deux événements a un sens absolu, aucun changement
du système de référence ne permet d’inverser
cet ordre ni de voir les deux événements simultanés.
 
Au contraire, quand ''s^''{{e|2}} est négatif ou ''s'' imaginaire,
la distance dans l’espace des deux événements est plus
grande que le chemin V*t''Vt'' parcouru par la lumière
pendant leur intervalle dans le temps (cette relation
a un sens absolu) et aucun lien causal ne peut exister
Ligne 1 028 ⟶ 1 037 :
être renversé par un changement convenable du système
de référence et n’a pas de sens absolu.
 
La quantité ''s'' est donc réelle ou imaginaire suivant
que l’un des événements peut ou non influer sur l’autre ;
elle est nulle quand un signal lumineux dont l’émission
Ligne 1 037 ⟶ 1 047 :
des deux événements l’un sur l’autre.
 
{{brn}}
13. ''La loi d’inertie ou d’action stationnaire''. —
Comme exemple de la possibilité indiquée plus haut
Ligne 1 042 ⟶ 1 053 :
invariants, des énoncés ''intrinsèques et simples'' pour les
lois de la physique ou de la mécanique, voyons comment
l’invariant fondamental ''s'' ou dsd''s'' permet d’exprimer la
loi d’inertie.
 
Considérons deux événements A et B dont la
possibilité d’influence S soit réelle ; puis que leur
distance dans l’espace est inférieure au chemin parcouru par la lumière pendant leur intervalle dans le
couru par la lumière pendant leur intervalle dans le
temps, il existe une infinité de mouvements possibles
pour un mobile qui, partant du premier A (il y en a
un qui est le premier dans le temps au sens absolu
puisque l’ordre de succession est invariable quand ''s''
est réel) passe par le second B. En appelant ''<i>ligne
d’Univers''</i> l’ensemble des événements que représentent
les diverses positions successives d’un mobile, nous
pouvons encore énoncer ceci en disant : lorsque deux
Ligne 1 065 ⟶ 1 076 :
par les deux événements, aura pour expression
 
{{centréMathForm1|(7)|<math>\scriptstyle I = \int\limits_int_{A}^{B} ds\mathrm{d}s,</math>}} (7)
 
<p style="text-indent:0">l’intégrale étant étendue à tous les couples d’événements
infiniment voisins qui se succèdent le long de cette
ligne.</p>
 
En géométrie, il y a une ligne qui se distingue
de toutes les autres passant par les deux mêmes points :
Ligne 1 075 ⟶ 1 087 :
minimum, ce minimum étant précisément égal à la
distance des deux points.
 
Un calcul très simple, qui utilise la définition (6)
de dsd''s'', montre que l’intégrale ''I'' est ''stationnaire'' et passe
par un maximum égal à ''s'' pour la ligne d’univers qui
correspond à ''<i>un mouvement rectiligne et uniforme,
c’est-à-dire à un mobile se mouvant entre les deux événements
conformément à la loi d’inertie''</i>.
 
Cette loi a donc, pour énoncé intrinsèque et
simple,
 
{{centréMathForm1|(8)|<math>\scriptstyle delta. \int ds\mathrm{d}s = 0</math>.}} (8)
 
On remarquera que cet énoncé ''d’action stationnaire''
Ligne 1 105 ⟶ 1 118 :
puissance de simplification.
 
{{brn}}
14. ''Le temps propre''. — Nous pouvons encore
donner de l’invariant fondamental une autre interprétation
Ligne 1 112 ⟶ 1 126 :
pour eux les deux événements se passent au
même point puisque tous deux coïncident avec leur
présence, de sorte que si d tau''τ'' est la mesure ''<i>faite par
eux''</i> de l’intervalle de temps entre les deux événements
supposés par exemple infiniment voisins, on a, comme
conséquence de la formule (6), en tenant compte du
fait que pour les observateurs considérés la distance
dans l’espace est nulle.,
 
{{centréMathForm1|(9)|<math>\scriptstyletextstyle ds\mathrm{d}s^2 = V^2.\,\mathrm{d }\tau^2 \qquad </math> ou <math>\qquad \mathrm{d}}s = V \mathrm{d}\tau</math>.}}
 
Nous donnerons à d tau''τ'' le nom, qui s’impose d’après▼
ou
 
{{centré|<math>\scriptstyle ds = V*d tau</math>}} (9)
 
▲Nous donnerons à d tau le nom, qui s’impose d’après
ce qui précède, de ''temps propre'' du mobile entre les
deux événements qui se succèdent au même point
par rapport à lui. La possibilité d’influence entre deux
événements, lorsqu’elle est réelle, est donc proportionnelle,
avec le coefficient ''V'', à l’intervalle de temps
mesuré entre ces événements par des observateurs
en mouvement rectiligne et uniforme tel que les deux
événements se passent pour eux au même point.
 
Si leur ligne d’univers n’est pas celle d’un mouvement
libre, on a, le long de cette ligne,
 
{{centréMathForm1|(10)|<math>\scriptstyle \int\limits_int_{A}^B ds\mathrm{d}s = V. \int\limits_int_{A}^B \mathrm{d }\tau</math>.}} (10)
 
C’est donc le mouvement rectiligne et uniforme
Ligne 1 145 ⟶ 1 156 :
s’en rendre compte de la manière suivante. Considérons
d’autres observateurs O que ceux liés au mobile.
Pour eux, celui-ci a une certaine vitesse ''v'' à l’instant ''t'',
et l’on a, d’après la définition de ds^d''s''{{e|2}},
 
{{centré|<math>\scriptstyletextstyle ds\mathrm{d}s^2 = (V^2)*(dt\,\mathrm{d}t^2) - (v^2)*(dt\,\mathrm{d}t^2) = (V^2)*(1 - \beta^2)*(dt\,\mathrm{d}t^2),</math>}}
 
<p style="text-indent:0">d’où</p>
d’où
 
{{centréMathForm1|(11)|<math>\scriptstyletextstyle \mathrm{d }\tau = \sqrt{(1-\beta^2*dt)}\,\mathrm{d}t</math>}} (11)
 
<p style="text-indent:0">et</p>
et
 
{{centré|<math>\scriptstyle \int\limits_int_{A}^B \mathrm{d} \tau = \int\limits_int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{(1-\beta^2)} \,\mathrm{d} t,</math>}}
 
<p style="text-indent:0">où t1''t''<sub>1</sub> et t2''t''<sub>2</sub> sont les instants auxquels se passent les
événements extrêmes A et B pour les observateurs O.
La présence du facteur <math>\textstyle \sqrt({1-\beta^2)}</math> montre que plus le
mouvement entre A et B différera d’un mouvement
rectiligne et uniforme, plus par conséquent les vitesses
seront grandes puisque la durée totale t2-t1''t''<sub>2</sub>{{lié}}−{{lié}}''t''<sub>{{corr|2|1}}</sub> est fixe,
et plus l’intégrale entre ces limites fixes sera petite.</p>
 
La loi d’inertie peut encore s’exprimer comme ''<i>loi
du temps propre maximum''</i>, et elle nous apparaît comme
liée de façon nécessaire aux conclusions suivantes,
dont l’aspect semble plus paradoxal encore que celles
relatives à la simultanéité et à la contraction apparente
réciproque des corps en mouvement.
 
Imaginons deux portions de matière dont les
lignes d’univers se croisent en deux événements A et B,
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