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<center><math>\delta(\rho\xi)=\frac{d(\rho\xi)}{d\epsilon}\delta\epsilon</math>.</center> |
<center><math>\delta(\rho\xi)=\frac{d(\rho\xi)}{d\epsilon}\delta\epsilon</math>.</center> |
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Observons que & |
Observons que ρΔ ne peut dépendre que de x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub> ; en effet, si l’on considère un élément d’électron dont la position initiale est un parallélipipède rectangle dont les arêtes sont dx<sub>0</sub>, dy<sub>0</sub>, dz<sub>0</sub> la charge de cet élément est |
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<center><math>\rho\Delta dx_{0\ }dy_{0\ }dz_{0\ }</math></center> |
<center><math>\rho\Delta dx_{0\ }dy_{0\ }dz_{0\ }</math></center> |
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{{Br0}}et, cette charge devant demeurer constante, on a: |
{{Br0}}et, cette charge devant demeurer constante, on a : |
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{{MathForm1|(15)|<math>\frac{\partial\rho\Delta}{\partial t}=\frac{\partial\rho\Delta}{\partial\epsilon}=0.</math>}} |
{{MathForm1|(15)|<math>\frac{\partial\rho\Delta}{\partial t}=\frac{\partial\rho\Delta}{\partial\epsilon}=0.</math>}} |
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On en déduit: |
On en déduit : |
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{{MathForm1|(16)|<math>\frac{\partial^{2}\rho\Delta U}{\partial t\ \partial\epsilon}=\frac{\partial}{\partial\epsilon}\left(\rho\Delta\frac{\partial U}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\Delta\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right).</math>}} |
{{MathForm1|(16)|<math>\frac{\partial^{2}\rho\Delta U}{\partial t\ \partial\epsilon}=\frac{\partial}{\partial\epsilon}\left(\rho\Delta\frac{\partial U}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\Delta\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right).</math>}} |
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Or on sait que pour une fonction A quelconque on a, par |
Or on sait que pour une fonction A quelconque on a, par l’équation de continuité, |
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<center><math>\frac{1}{\Delta}\frac{\partial A\Delta}{\partial t}=\frac{dA}{dt}+\sum\frac{dA\xi}{dx}</math></center> |
<center><math>\frac{1}{\Delta}\frac{\partial A\Delta}{\partial t}=\frac{dA}{dt}+\sum\frac{dA\xi}{dx}</math></center> |
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| Ligne 33 : | Ligne 33 : | ||
{{MathForm1|(17<sup>bis</sup>)|<math>\frac{1}{\Delta}\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\Delta\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)=\frac{d\rho\frac{\partial U}{\partial\epsilon}}{dt}+\frac{d\left(\rho\frac{\partial U}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)}{dx}+\frac{d\left(\rho\frac{\partial V}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)}{dy}+\frac{d\left(\rho\frac{\partial W}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)}{dz}.</math>}} |
{{MathForm1|(17<sup>bis</sup>)|<math>\frac{1}{\Delta}\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\Delta\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)=\frac{d\rho\frac{\partial U}{\partial\epsilon}}{dt}+\frac{d\left(\rho\frac{\partial U}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)}{dx}+\frac{d\left(\rho\frac{\partial V}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)}{dy}+\frac{d\left(\rho\frac{\partial W}{\partial t}\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\right)}{dz}.</math>}} |
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Les 2<sup>ds</sup> membres de (17) et (17 bis) doivent être égaux et, si |
Les 2<sup>ds</sup> membres de (17) et (17 bis) doivent être égaux et, si l’on se souvient que |
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<center><math>\frac{\partial U}{\partial t}=\xi,\quad\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\delta\epsilon=\delta U,\quad\frac{d\rho\xi}{d\epsilon}\delta\epsilon=\delta\rho\xi</math></center> |
<center><math>\frac{\partial U}{\partial t}=\xi,\quad\frac{\partial U}{\partial\epsilon}\delta\epsilon=\delta U,\quad\frac{d\rho\xi}{d\epsilon}\delta\epsilon=\delta\rho\xi</math></center> |
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{{Br0}}il vient: |
{{Br0}}il vient : |
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{{MathForm1|(18)|<math>\delta\rho\xi+\frac{d(\rho\xi\delta U)}{dx}+\frac{d(\rho\xi\delta V)}{dy}+\frac{d(\rho\xi\delta W)}{dz}=\frac{d(\rho\delta U)}{dt}+\frac{d(\rho\xi\delta U)}{dx}+\frac{d(\rho\eta\delta U)}{dy}+\frac{d(\rho\zeta\delta U)}{dz}</math>}} |
{{MathForm1|(18)|<math>\delta\rho\xi+\frac{d(\rho\xi\delta U)}{dx}+\frac{d(\rho\xi\delta V)}{dy}+\frac{d(\rho\xi\delta W)}{dz}=\frac{d(\rho\delta U)}{dt}+\frac{d(\rho\xi\delta U)}{dx}+\frac{d(\rho\eta\delta U)}{dy}+\frac{d(\rho\zeta\delta U)}{dz}</math>}} |
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Transformons maintenant le 2<sup>d</sup> terme de (9); il vient: |
Transformons maintenant le 2<sup>d</sup> terme de (9) ; il vient : |
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{{MathForm1||<math>\int dt\ d\tau\sum F\delta\rho\xi</math> |
{{MathForm1||<math>\int dt\ d\tau\sum F\delta\rho\xi</math> |
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