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« Notice sur les travaux scientifiques de Henri Poincaré » : différence entre les versions

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c'est-à-dire des intégrales de différentielles algébriques; cette théorie est ordinairement
présentée sous une forme géométrique, ce qui a amené à dire, pour
abréger, que ces intégrales « appartiennent à une courbe algéhriquealgébrique D.
 
Quand on passe aux fonctions de deux variables, la notion de ces intégrales et
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de différentielles totales et par les intégrales doubles. Je ne m'étendrai pas
beaucoup sur le premier de ces modes de généralisation. 11 ne m'appartient pas,
en effet : c'est BIM. Picard qui en a tiré les premiers et les plus beaux résultats. Je
n'ai fait qu'appeler l'attention (51)' à la suite de la Note de M. Picard, sur quelques
points de détail. AinsiceAinsi ce géomètre avait démontré qu'une surface algébrique
ne possède d'intégrales abéliennes de différentielles totales de première espèce
que dans des cas particuliers.
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Je veux dire que, si
 
f(x, y, z) =o 0,
 
est l'équation d'une surface algébrique définissant az en fonction de x et de y , il
n'y aura pas, en général, de différentielle exacte
 
PdxP*dx + QdyQ*dy,
 
où P et Q soient rationnels en x, y, az, de telle façon que l'intégrale▼
 
sum(P*dx + Q*dy),
 
▲où P et Q soient rationnels en x, y, a, de telle façon que l'intégrale
reste toujours finie.
 
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Il n'en était rien. J'ai démontré (52) le théorème suivant :
 
Si (x,(1), y,(1), z,(1)), (x2x(2), yly(2), zZz(2)), . . . , (xqx(q), yqy(q), zgz(q)) sont les q points d'intersection
d'une surface algébrique S et d'une courbe algébrique C; si (x,(1) + dx, (1), y,(1) + dy,(1),
3,z(1) + dz,(1)), . . . sont les gq points d'intersection de cette même surface S avec une
courbe C' infiniment peu diffkrentedifférente de C, on aura linun certain nombre de relations
de la forme
 
XI X(1)*dx,(1) + X2dx,X(2)*dx(2) +. . . + XqdxQX(q)*dx(q) = O0,
 
où XiX(i) est une fonction rationnelle de xix(i), y,(i), ziz(i). Ces relations peuvent être regardées
comme la généralisation du tliéorèmethéorème d'Abel.
 
Les difficultés qui s'attachent à l'étude des intégrales doubles et multiples
étendues à un domaine imaginaire sont d'une nature différente. 11Il semble que la
théorie des intégrales simples prises entre des limites imaginaires serait d'une
exposition beaucoup pluslaborieuseplus laborieuse si l'on n'avait pour s'y guider une représentation
géométrique. On perd ce guide quand on passe aux intégrales doubles; il
faudrait alors recourir à la Géométrie à quatre dimensions, ce qui serait une complication
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Cet obstacle ne parait pas d'abord très sérieux; cependant il arrêta longtemps
les géomètres. M. Picard, à propos des fonctions hyperfuchsienneshyper-fuchsiennes, avait traité
une question qui présente quelque analogie avec celle qui nous occupe, mais
qui n'est pourt,antpourtant pas la même; les quantités qu'il aainsia ainsi introduites ne peuvent
être en aucune façon regardées comme la généralisation des périodes des intégrales
simples. Il importe de ne pas les confondre avec les périodes cycliques
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Je fus donc le premier à étudier méthodiquement cette importante question
dans une Note (59) que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie le 25 janvier
r 8561886 et dont je suis en train de développer les résultats dans un Mémoire qui est
actuellement à moitié terminé.
 
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conditions d'intégrabilité de différentielles doubles
 
AdydzA*dy*dz + BdxdzB*dx*dz + CdxdyC*dx*dy +. . ..,
 
qu'il faut d'abord définir sans ambiguïté. Ces conditions présentent presque la
même forme que celles qui expriment Il'intégrabilité d'une différentielle ordinaire.
Seulement certains signes qui sont tous positifspourpositifs pour les intégrales d'ordre
pair, et, en particulier, pour les intégrales doubles, sont, au contraire, alternativement
positifs et négatifs quand il s'agit d'intégrales d'ordre impair et en particulier
d'intégrales simples. Ces conditions une fois Irouvéestrouvées, le théorème fondamental
s'ensuit immédialementimmédiatement.
 
II admet cependant des exceptions, comme la proposition correspondante de
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J'ai envisagé l'intégrale d'une fonction rationnelle que j'ai écrite sous la forme
suivante
 
sum(sum(((f(x,y))*dx*dy)/((phi(x,y))*psi(x,y))),
 
en décomposant le dénominateur en facteurs irréductibles, et j'ai reconnu que
cette intégrale présente trois sortes de périodes :
 
I"* 1) Celles de la première sorte sont égales à 2i.x:2*i*Pi multiplié par l'une des périodes de première espèce de l'intégrale abélienne
de première espèce de l'intégrale abélienne
(rapportée à la courbe algébrique + = O).▼
 
sum((f*dx)/(phi*(d(psi)/dy))),
2" Celles de la seconde sorte se rapportent aux divers points d'intersection▼
des deux courbes rq = + = O et sont égales à
A(x, y) étant le déterminant de rq et de + par rapport à x et à y; et x, et y, étant▼
les coordonnées du point d'intersection.
 
▲(rapportée à la courbe algébrique +psi = O0).
3" Enfin celles de la troisième sorte se rapportent aux divers points doubles▼
 
▲* 2") Celles de la seconde sorte se rapportent aux divers points d'intersection des deux courbes phi = psi = 0 et sont égales à
 
+-(4*(Pi^2))*((f(x(0),y(0)))/(Delta(x(0),y(0))),
 
▲ADelta(x, y) étant le déterminant de rqphi et de +psi par rapport à x et à y; et x, et y, étant les coordonnées du point d'intersection.
 
▲* 3") Enfin celles de la troisième sorte se rapportent aux divers points doubles
de ces deux courbes et ont une expression analogue.
 
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s'accroissent par sauts brusques; celles-là, au contraire, varient d'une façon continue
comme le chemin d'intégration lui-même. C'est là la principale différence
entre la théor&théorie nouvelle et celle de Cauchy.
 
Ces résultats s'appliquent, "mutatis mulandismutandis", aux transcendantes et, en particulier,
aux fonctions uniformes.
 
Cette théorie nouvelle sera-t-elle aussi féconde que l'ontétéont été les découvertes de
Cauchy? Elle est encore trop jeune pour qu'on puisse se prononcer sur ce point.
Certainement quelques-uns des résultats qu'on peut obtenir ainsi, et par une
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Après cette revue des travaux que j'ai consacrés à la théorie générale des fonctions,
je suis naturellement amené à passer à l'étude de diverses fonctions particulières.
J'ai déjà parlé plus haut des fonctions fuclisiennesfuchsiennes. Il me reste à résumer
mes recherches sur les fonctions elliptiques, sur les fonctions abéliennes et sur
les fonctions hyperfuchsienneshyper-fuchsiennes.
 
'''IX. - Fonctions elliptiques.'''
 
J'ai fait fort peu de chose sur les fonctions elliptiques. Cependant j'ai donné,
dans un Mémoire d'Arithmétique (41, 97), une façon d'exprimer ces fonctions à
l'aide d'une integraleintégrale définie. On sait que les fonctions doublement périodiques
of(u - CI) peuvent se décomposer en éléments simples de la forme (sigma'(u - alpha))/(sigma(u - alpha)),
 
a(u - CC)
 
ou de la forme
 
((d^n)/(d(u^n)))((sigma'(u - alpha))/(sigma(u - alpha))).
 
Il suffit donc d'exprimer par une intégrale définie la fonction
 
où w = a pw t 2 pfw' et où p et p' peuvent prendre tous les systèmes de valeurs▼
(sigma'(u))/(sigma(u)) = 1/u + Sigma(1/(u - w) + 1/w + u/(w^2)),
entières positives et négatives, excepté p = pf= o. On pourra évidemment décomposer▼
 
▲où w = a2*mu*omega pw t+ 2 pfw*(mu')*(omega') et où pmu et pmu' peuvent prendre tous les systèmes de valeurs
▲entières positives et négatives, excepté pmu = pfmu' = o0. On pourra évidemment décomposer
la série du second membre en quatre autres : la première comprenant les
termes où pmu et pmu' sont positifs, la seconde les termes où pmu est positif et pfmu' négatif
ou nul, la troisième ceux où pmu est négalifnégatif ou nul et pmu' positif, la quatrième enfin
ceux où pmu et ymu' sont négatifs ou nuls. Cette décomposition est analogue à la
décomposition de 7c cotxnPi*cot(x*Pi) en une somme de deux termes dépendant des fonctions
eulériennes
 
Pi*cot(x*Pi) = (Gamma'(x))/(Gamma(x)) - (Gamma'(1 - x))/(Gamma(1 - x)).
 
Cette généralisation des fonctions eulériennes est analogue, mais non identique à
celle qu'a donnée RIM. Appell.
 
Il suffit alors d'exprimer, par une intégrale définie, la première de nos séries
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