« Notice sur les travaux scientifiques de Henri Poincaré » : différence entre les versions
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Ils ont néanmoins une grande importance pratique. On peut d'ailleurs démontrer
qu'ils se présenteront toujours si le dernier multiplicateur M, défini par l'équation
d(M*X)/dx + d(M*Y)/dy + d(M*Z)/dz = 0,
est toujours uniforme et positif dans le domaine considéré. Or cette circonstance
se rencontre précisément dans la plupart des applications,
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M. Mittag-Leffler.
Ces fonctions peuvent se répartir en trois classes :
* 1) fonctions uniformes existant dans toute l'étendue du plan; * 2) fonctions uniformes à espaces lacunaires, c'est-à-dire n'existant pas dans toute l'étendue du plan;
* 3) fonctions non uniformes. Parmi les fonctions de la première classe, les plus importantes sont les fonctions
entières, c'est-à-dire celles qui peuvent se développer suivant les puissances de x,
en séries toujours convergentes. M. Weierstrass a fait voir qu'une pareille fonction
peut toujours se décomposer en un produit d'une infinité de
facteur primaire de genre n est le produit (1 -
entier de degré n. Une fonction de genre n est une fonction entière dont tous les
facteurs primaires sont de genre n ou de genre inférieur.
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les puissances de x. Je suis arrivé ainsi aux résultats suivants :
* 2) L'intégrale
représente une fonction entière de f -▼
sum(0...infini)(exp((x*z)^(n+1))*(F(z))*dz)
3" Si A, est le coefficient de xP dans le développement de F(x), on a▼
lim(A(p)*((p!)^(1/(n+1)))) = 0 (pour p = infini).
* 4) Si F(x) est une fonction de genre 0, elle est susceptible d'être représentée par la série d'Abel étudiée par M. Halphen dans le tome X du Bulletin de la Société mathématique de France, et cela quelle que soit la constante beta.
Malheureusement les réciproques de ces propositions ne sont pas vraies. Il est
aisé de voir la raison pour laquelle il est impossible de trouver un critère infaillible,
du genre n. En effet, la classification des fonctions en genres se rattache très
étroitement à la théorie de la convergence des séries.
Pour qu'une fonction dont les zéros sont, par ordre de
a(1), a(2), ..., a(p),
soit de genre n, la première condition et la plus importante, c'est que la série
1/((a(1))^(n+1)) + 1/((a(2))^(n+1)) + ... + 1/((a(p))^(n+1)) + ...
soit convergente. Or il n'y a point de critère de la convergence d'une série pouvant
s'appliquer à tous les cas. C'est pour cela qu'il n'y a pas non plus de critère
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Outre les fonctions entières, la première classe comprend :
* 2
* 3
* 5
points singuliers
de fonctions de cette dernière catégorie; ce sont les fonctions fuchsiennes qui
existent dans toute l'étendue du plan. En appliquant un théorème de M. Picard,
on peut voir en effet que ces fonctions ne peuvent avoir de points singuliers
isolés.
(1) Fonctions fuchsiennes (passim).
Passons maintenant à la deuxième classe, celle des fonctions à espaces lacunaires
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de fonctions à espaces lacunaires. Les résultats de ma thèse inaugurale me conduisaient
également à des fonctions présentant des lacunes. Si l'on veut bien en
effet se reporter au paragraphe que j'ai intitulé Généralités sur les équations
n'a d'intégrale holomorphe que si le polygone convexe, qui contient tous les
points représentatifs des différentes racines d'une certaine équation algébrique,
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Cette remarque m'a fait découvrir toute une classe de fonctions présentant des
lacunes. Voici quel est leur mode de génération. On pose
en supposant que la série ZA, soit absolument convergente et que les points 6,▼
phi(x) = Sigma((A(n))/(x - b(n))),
soient intérieurs à un certain domaine D ou situés sur le contour de ce domaine,
et cela de telle façon que, si l'on prend sur ce contour un arc quelconque et
aussi petit qu'on voudra, il y ait toujours sur cet arc une infinité de points b
La fonction
comme espace lacunaire. Comme exemple particulier, j'ai cité la série
où u, v, w sont des constantes données, de module inférieur à I , où a, P, y sont▼
(les constantes imaginaires quelconques et où m, n et p peuvent prendre sous▼
le signe 2 tous les systèmes de valeurs entières et positives.▼
phi(x) = Sigma((u^n + v^m +w^p)/(x - ((m*alpha + n*beta + p*gamma)/(m + n + p)))),
La fonction cp(x) a alors pour espace lacunaire le triangle apy.▼
Il importe de se rendre compte de la véritable nature de ces fonctions à espaces
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long de laquelle le développement cesse d'être valable. Doit-on cependant considérer
les deux fonctions représentées par le développement l'intérieur et à
l'extérieur du
géomètres étaient autrefois tentés de le croire. M. Weierstrass a montré
pour la première fois que leur point de vue était faux, en donnant des exemples
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différentes. J'en ai moi-même rencontré un exemple dont je veux ici dire
un mot. Certains développements qui représentent à l'intérieur du cercle fondamental
une de ces fonctions que j'ai appelées plus haut
O à l'extérieur de ce cercle.
J'ai voulu donner (34) un argument nouveau à l'appui de la manière de voir de
espace lacunaire, et une autre fonction F
de ce domaine et admettant par conséquent tout le reste du plan comme
espace lacunaire. Divisons le contour du domaine D en deux arcs A et B. J'ai
démontré qu'on pouvait trouver deux fonctions uniformes
dans tout le plan et admettant seulement, la première A, la seconde B comme
ligne singulière; et cela de telle
Si la fonction F avait un prolongement analytique naturel à l'intérieur de
manière tout à fait arbitraire, en l'assujettissant seulement à n'
de D. Il est donc dénué de sens de parler du prolongement naturel d'une
fonction à l'intérieur d'un de ses espaces lacunaires. J'avais en même temps
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uniformes à ligne singulière essentielle.
La
des fonctions uniformes. Quoiqu'on connaisse assez bien la manière d'
ces fonctions dans
de Riemann ait jeté beaucoup de lumière sur les parties encore obscures
de leur théorie, il y a encore bien des progrès à faire avant de connaître leurs
principales propriétés. J'étais donc animé du désir de ramener leur étude à celle
des transcendantes uniformes. La théorie des fonctions
déjà du
d'une courbe algébrique quelconque, on peut choisir un paramètre
résolu le problème pour les plus simples des fonctions non uniformes,
c'est-à-dire pour les fonctions algébriques.
J'étais donc (84) naturellement porté à me demander si cette propriété est particulière
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très général suivant :
Soit y une fonction analytique quelconque de x, non
trouver une variable z, telle que x et y soient fonctions
Mon point de départ a été la démonstration du principe de Dirichlet donnée
par M. Schwarz. Mais ce principe n'aurait pu à lui seul me permettre de
des difficultés qui provenaient de la grande généralité du théorème à démontrer.
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Je découpe une portion finie R de cette surface, et j'en fais sur un cercle la
représentation conforme, ce que le théorème de M. Schwarz me permet de faire.
Cette représentation se fait à l'aide d'une certaine fonction analytique u. Faisons
ensuite croître indéfiniment la région R; nous aurons la représentation conforme
d'une portion de plus en plus étendue de notre surface de Riemann. Il me faut
alors faire voir que la fonction analytique u dont je parlais plus haut tend vers
une limite finie et déterminée. Quand cela est fait, les
sont vaincues. En effet, il reste à démontrer que la limite de la fonction u est
elle-même une fonction analytique. Pour cela, il faut que la fonction analytique u
tende
Ainsi, l'étude
a l'étude bien plus facile des fonctions
Je rattacherai à ces recherches, relatives aux fonctions d'une variable, les travaux
que j'ai
y a un fait qui joue un rôle très important dans la théorie des fonctions : c'est
que les régions où une fonction quelconque peut être représentée par une série
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d'autre forme.
J'ai cherché, en particulier, les conditions de convergence
de degré n, en supposant qu'il y ait
de Legendre n'en sont évidemment que des cas particuliers. J'ai trouvé
que les régions où ces séries convergent sont limitées par certaines courbes de
convergence et j'ai déterminé ces courbes en remarquant que la série
Sigma(P(n)*(z^n)),
considérée comme fonction de z, satisfait à une équation différentielle linéaire
dont les coefficients sont des polynômes entiers en z et en x.
'''VII. - Théorie générale des fonctions de deux variables.'''
d'appliquer, sans y rien changer, les principes qui ont servi à établir les propriétés
des fonctions d'une seule variable. Il n'en est rien; il y a entre les deux
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le paragraphe suivant. J'insisterai seulement sur un exemple qui met bien
en évidence les différences dont je viens de parler : c'est l'étude des fonctions
à distance finie d'autres singularités que des infinis.
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de Berlin construit une fonction entière qui s'annule pour tous les infinis de la
fonction méromorphe donnée. Le produit des deux fonctions, ne devenant plus
infini, est une fonction entière. Pour construire
faut considérer
donnée.
La méthode de
s'étendre aux fonctions de deux variables, dont les infinis sont non plus des
points isolés, mais des multiplicités continues, et ne peuvent par conséquent
être envisagés
théorème de M. Weierstrass ont-ils été longtemps arrêtés (31, 66).
J'eus l'idée de tourner la
variables. Soit en effet V
z +
(1) Laplacien(V) = (d^2)(V)/d(x^2) + (d^2)(V)/d(y^2) + (d^2)(V)/d(z^2) + (d^2)(V)/d(t^2) = 0,
fonction de nos deux variables. 11 faut en outre que V satisfasse aux relations
(2) (d^2)(V)/d(x^2) + (d^2)(V)/d(y^2) = 0; (d^2)(V)/(dx*dz) + (d^2)(V)/(dy*dt) = 0.
Envisageons maintenant toutes les fonctions V qui satisfont à l'équation (1) sans
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Pouvant alors considérer séparément les infinis de notre fonction méromorphe,
nous n'avons plus qu'à appliquer la méthode même de
une fonction
donnée et telle que V satisfasse à l'équation (1). On peut même en trouver
une infinité. Soient en effet V
toujours finie,
plus haut. Il reste à faire voir que, parmi ces fonctions
peut être regardée comme la partie réelle d'une fonction de x +
ce qui veut dire que l'on peut disposer de la fonction entière G, de telle façon que
C'est ce que j'ai fait, démontrant ainsi le
Si une fonction de deux variables imaginaires est partout
le
En ce qui concerne
leurs propriétés dans le voisinage d'un point donné, par les lemmes que j'ai
démontrés au début de ma thèse inaugurale. Supposons qu'une équation
définissant a comme fonction implicite de x,, x2, . . ., x,, soit satisfaite pour le▼
F(z, x(1), x(2), ..., x(n)) = 0,
système de valeurs
z =
et que nous étudiions la fonction dans un domaine voisin de ce système de valeurs.
Je suppose de plus que dans ce domaine la fonction F soit holomorphe.
de x
que ((d^2)(F))/(d(z^2)), ((d^3)(F))/(d(z^3)), ..., ((d^(m - 1)(F))/(d(z^(m -1)) mais que la (m)ième dérivée n'est pas nulle.
z^m + B(m - 1)*(z^(m - 1) + B(m - 2)*(z^(m - 2) + ... + B(1)*z + B(0) = 0,
▲que dans ce cas a satisfait à une équation algébrique de la forme
dont les coefficients A sont des fonctions holomorphes des x. J'ai obtenu ensuite
un résultat analogue pour le cas où l'on a p fonctions implicites de n variables
définies par p équations simultanées.
'''VIII. - Intégrales multiples.'''
La théorie qui a le plus contribué à
est certainement celle des intégrales prises entre des limites imaginaires. Elle
conduit, comme on le sait, à envisager les périodes de ces intégrales et à distinguer
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