« Notice sur les travaux scientifiques de Henri Poincaré » : différence entre les versions
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J'ai donné à ces quatre sortes les noms suivants :
* 1) Les cols, par lesquels passent deux courbes définies par l'équation et deux seulement ;
* 2) Les noeuds, où viennent se croiser une infinité de courbes définies par l'équation;
* 3) Les foyers, autour desquels ces courbes tournent en s'en rapprochant sans cesse à la façon d'une spirale logarithmique;
* 4) Les centres, autour desquels ces courbes se présentent sous la forme de cycles fermés s'enveloppant mutuellement et enveloppant le centre. (On ne rencontre les centres que dans des cas très exceptionnels.)
J'ai étudié ensuite la distribution de ces divers points singuliers dans le plan.
Ligne 1 351 ⟶ 1 347 :
* 3) Les foyers, où passe une courbe C et une seule, pendant que les autres courbes se rapprochent asymptotiquement du point singulier à la façon des spirales;
* 4) Les cols foyers, par lesquels passe une courbe C et une seule, pendant qu'une infinité d'autres, dont l'ensemble forme une surface, se rapprochent asymptotiquement du point singulier.
J'ai étudié également le cas où les trois surfaces (5) ont une courbe commune
Ligne 1 385 ⟶ 1 381 :
ensuite et finissent par sortir du domaine. Je n'ai rien à ajouter sur ce premier cas, qui nous apprend peu de chose sur les propriétés de nos courbes.
* 2) On peut construire une surface S présentant une forme annulaire analogue à celle du tore, et à l'intérieur de laquelle se trouve la courbe C(0), de la même façon que le cercle, lieu des centres des cercles méridiens, se trouve à l'intérieur d'un tore. De plus, cette surface S n'est tangente en aucun point, à aucune des courbes C : c'est une surface sans contact.
Considérons un point mobile décrivant une courbe C; dès qu'il sera sorti de la surface S, il n'y pourra plus rentrer; nous avons donc instabilité, et cela semble être ici le cas général. * 3) On peut construire une surface S analogue à celle dont nous venons de parler; mais elle ne sera pas une surface sans contact, elle sera au contraire sillonnée par une infinité de courbes C. Alors, si notre point mobile est situé sur la surface S, il y restera toujours; de plus, s'il part d'une position initiale quelconque, il finira toujours par revenir aussi près que l'on veut de cette position. Son orbite est donc stable.
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