« Magnétisme et théorie des électrons » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Aucun résumé des modifications |
Aucun résumé des modifications |
||
Ligne 151 :
si n est le nombre total des électrons considérés et (r^2)(barre) le carré du rayon de gyration de l'ensemble des électrons d'une molécule de configuration moyenne par rapport à un axe passant par leur centre de gravité. La vitesse aréolaire d'un électron sur son orbite par rapport au centre de gravité a pour composante dans la direction OZ
Az = (1/2)*(ksi*d(eta)/dt - eta*d(ksi)/dt)
et le moment magnétique total est dans cette direction
Mz = Sigma(e)*Az = (e/2)*Sigma(ksi*d(eta)/dt - eta*d(ksi)/dt),
Cherchons la variation de ce moment magnétique en fonction du temps :
d(Mz)/dt = (e/2)*Sigma((ksi*(d^2(eta))/(dt^2) - eta*(d^2(ksi))/(dt^2)),
Si Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz sont les composantes des champs électrique et magnétique dus à des causes extérieures. à l'élément de volume, on aura pour le mouvement de cet électron les équations
m*((d^2(ksi))/(dt^2)) = X + e*Ex + e*Hz*(v + dy/dt) - e*Hy*(w + dz/dt) - m*((d^2(a))/(dt^2)) - m*(du/dt),
m*((d^2(eta))/(dt^2)) = Y + e*Ey + e*Hx*(w + dz/dt) - e*Hz*(u + dx/dt) - m*((d^2(b))/(dt^2)) - m*(dv/dt),
Les champs extérieurs varieront lentement dans l'étendue de l'élément de volume, et l'on pourra se contenter de conserver les termes du premier degré dans leur développement en série de Taylor à partir de l'origine des coordonnées. Par exemple
Ex = E(0,x) + x*(d(Ex)/dx)(0) + y*(d(Ex)/dy)(0) + z*(d(Ex)/dz)(0)
Calculant d(Mz)/dt en tenant compte des sommes nulles indiquées plus haut, qui sont nulles à chaque instant, il reste en posant
(d(Mz)/dt)(0) = (e/(2*m))*Sigma(ksi*y - eta*X),
pour le terme qui représente la variation du moment magnétique due aux forces intérieures, indépendamment des champs extérieurs,
d(Mz)/dt = [(e^2)/(4*m)]*{I*[(d(Ey)/dx)(0) - (d(Ex)/dy)(0)] + w*I*[(d(Hx)/dx)(0) + (d(Hy)/dy)(0)] - I*[u*(d(Hz)/dx)(0) + v*(d(Hz)/dy)(0)] - H(0,z)*(dI/dt)} + (d(Mz)/dt)(0)
Mais on a, d'après les équations du champ électromagnétique,
(1)' d(Ey)/dx - d(Ex)/dy = -d(Hz)/dt,
d(Hx)/dx + d(Hy)/dy + d(Hz)/dz = 0.
En substituant il reste, en laissant de côté les indices 0,
d(Mz)/dt = -[(e^2)/(4*m)]*[I*(d(Hz)/dt + u*(d(Hz)/dx) + v*(d(Hz)/dy) + w*(d(Hz)/dz)) + Hz*(dI/dt)] + (d(Mz)/dt)(0).
Or
d(Hz)/dt + u*(d(Hz)/dx) + v*(d(Hz)/dy) + w*(d(Hz)/dz) = d(Hz)/dt,
Cette dernière dérivée étant prise en suivant le déplacement de l'élément de volume. Il reste donc
(2) d(Mz)/dt = -[(e^2)/(4*m)]*[d((Hz)*I)/dt] + (d(Mz)/dt)(0).
Intégrant par rapport à t et désignant par delta(Mz) l'accroissement fini depuis l'origine du temps où Hz est nul, jusqu'à l'instant où le champ est H, il vient simplement pour la variation due à l'action du champ extérieur, et qui existe seule pour l'ensemble des électrons si l'élément de volume ne possède pas de moment magnétique initial; n'est pas un aimant en rotation et
(3) delta(Mz) = -[(e^2)/(4*m)]*[H*I],
peu importe que cet établissement soit dit à une modification du système producteur du champ ou au déplacement de l'élément de volume. Les autres catégories d'électrons fourniront des termes analogues et de même signe. Il en résulte pour l'accroissement du moment magnétique d'un courant particulaire en moyenne
(4) delta(M) = -H*[(e^2)/(4*m)]*[(r^2)(barre)].
Le signe - correspond à un moment de sens inverse au champ extérieur, c'est-à-dire à une modification dia-magnétique du système, puisque les facteurs autres que H sont essentiellement positifs. Toute matière possédera donc la propriété diamagnétique, que le montent résultant initial de ses molécules soit nul ou non.
13. Si ce moment initial est nul, aucun phénomène ultérieur ne se produira et la substance sen purement diamagnétique, car les chocs mutuels entre molécules, que nous n'avons pas fait intervenir jusqu'ici, puisque uniquement les actions intérieures sur les électrons ont été introduites, ne modifieront rien à l'état du système. En effet, le moment de chaque molécule étant nul, l'établissement du champ extérieur ne modifiera pas son mouvement d'ensemble, et les chocs mutuels se produiront exactement comme auparavant, la modification diamagnétique étant toujours extrêmement faible, comme on le verra plus loin. Or, si la substance est en équilibre thermique, ces chocs ne modifient aucunement la distribution moyenne des électrons; la quantité de mouvement totale des électrons de chaque espèce se conservera dans les chocs, et par suite le moment diamagnétique. De plus, le mouvement d'ensemble d'aucune molécule n'étant altéré, aucune variation de température ne suivra la variation diamagnétique. Nous allons voir qu'inversement et conformément aux principes thermodynamiques, la température n'influe pas sur les constantes diamagnétiques. On peut encore démontrer de la manière suivante la persistance du diamagnétisme en dépit des chocs entre molécules. La formule fondamentale (2) suppose essentiellement que les axes de coordonnées conservent une direction fixe par rapport à l'éther, mais nous n'avons nullement dans sa démonstration éliminé la possibilité d'un mouvement de rotation d'ensemble de l'élément de volume, ni d'une accélération de cette rotation aussi bien que de la translation u, v, w, quel que soit le mouvement d'ensemble de l'élément de volume, son état diamagnétique est déterminé à chaque instant par sa position actuelle par rapport au champ. La même démonstration pourrait s'appliquer exactement au cas d'une molécule unique ayant un mouvement d'ensemble absolument quelconque et contenant, comme cela est vraisemblable d'après la complexité des spectres, un nombre d'électrons assez grand pour que les conditions de sommes nulles y soient remplies à chaque instant. L'état diamagnétique de cette molécule, modification delta(M) produite par le champ extérieur, ne dépend à chaque instant que de la position actuelle de la molécule par rapport au champ, quels que soient les chocs antérieurement subis. Je n'ai pas tenu compte dans ce qui précède des forces intérieures qui peuvent résulter de la modification diamagnétique elle-même. Il serait important, mais assez difficile, je crois, de les faire intervenir. Elles ne me semblent pas devoir modifier de manière appréciable les résultats précédents : un argument sérieux dans ce sens est fourni par le résultat du n° (21) que je crois possible de généraliser, et d'après lequel la modification diamagnétique, en moyenne au moins, ne correspondrait qu'à un changement de vitesse des électrons sans déformation des orbites, à un changement d'intensité des courants particulaires sans déplacement relatif des circuits qu'ils parcourent. Cette absence de déformation moyenne de la molécule pendant la modification diamagnétique doit rendre négligeables des réactions intérieures que celle-ci produit. Si l'unité de volume contient N électrons identiques, la partie correspondante de la susceptibilité diamagnétique sera
k = [N*(e^2)/(4*m)]*[(r^2)(barre)] = (rho/4)*[(e/m)^2]*[(r^2)(barre)],
si rho est la densité des électrons correspondants par unité de volume. On voit que l'effet produit contient en facteur le carré du rapport e/m, et si, comme tout le tait supposer, ce rapport est au moins mille fois plus grand pour les électrons négatifs, ou corpuscules cathodiques, que pour les positifs, ce sont les premiers, présents dans toute matière, qui joueront le rôle essentiel dans la production du diamagnétisme.
14. Tous les électrons présents dans la molécule doivent intervenir dans cette production ; or leurs mouvements intramoléculaires dépendent extrêmement peu de la température, comme semble bien l'indiquer la fixité des raies spectrales : la lente agitation d'ensemble qui correspond au phénomène thermique ne modifiant pas l'état intérieur du système. Il en résulte que la constante diamagnétique doit varier très peu avec la température, conformément au résultat expérimental de M. Curie. De plus, suivant un autre résultat de M. Curie, la constante diamagnétique parait indépendante de l'état physique ou chimique : la représentation précédente ferait bien du diamagnétisme une propriété atomique. L'exception présentée par le bismuth solide dont la constante diamagnétique diminue à peu près linéairement quand la température s'élève, tient peut-être, comme l'a supposé J.J. Thomson, à la présence dans le métal de corpuscules cathodiques libres qui lui donnent sa conductibilité et dont le champ magnétique extérieur incurve dans le sens qui correspond au diamagnétisme les chemins de libre parcours, particulièrement longs dans le bismuth. Le mécanisme est ici tout différent de l'action générale sur les électrons' mobiles en orbites fermées à l'intérieur des molécules, et la température peut intervenir pour modifier la vitesse des électrons libres ainsi que leurs libres parcours et leur nombre.
15. Si l'on suppose circulaires les orbites fermées et si l'on désigne par r, leur rayon quadratique moyen, il est facile de démontrer que
(r^2)(barre) = ((r(1))^2)/3,
d'où pour la susceptibilité due aux électrons négatifs
k = (rho/12)*((e/m)^2)*((r(1))^2),
Dans le cas de l'eau, dont la constante diamagnétique est 0,8.10^(-6), la densité rho des électrons négatifs qui constituent seulement une partie de la molécule est inférieure à l'unité, et probablement très supérieure à 1/2000, rapport de la masse d'un électron négatif à celle de l'atome d'hydrogène. Le rapport e/m est d'ailleurs connu et égal à 1,8.10^(7). On peut déduire de là une limite inférieure et une limite supérieure pour le rayon quadratique
2x10^(-10) < r(1) < 10^(-8),
résultat parfaitement d'accord avec ce que nous savons sur les grandeurs moléculaires; on sait par ailleurs que le rayon des molécules est un peu supérieur à 10^(-8), et celles-ci peuvent par suite contenir des orbites de rayon moyen r(1). On s'explique ainsi par la petitesse du rayon moyen r(1), nécessairement inférieur aux dimensions moléculaires, la petitesse des effets diamagnétiques.
16. Nous n'avons jusqu'ici vu apparaître aucun paramagnétisme; si l'on ne tient pas compte des actions mutuelles entre molécules, qui se produisent soit au moment de leurs chocs comme dans le cas des gaz, soit grâce à leur proximité dans les milieux plus denses, il n'apparaît, même si la molécule possède un moment résultant, que le phénomène de diamagnétisme obtenu plus haut. L'effet initial de la création du champ magnétique est dans tous les cas de polariser la matière diamagnétiquement. Mais, contrairement à ce qui se passe pour les corps purement diamagnétiques, la molécule de moment résultant non nul a son énergie cinétique d'ensemble modifiée par le champ magnétique, sans qu'il en résulte d'ailleurs aucun paramagnétisme initial pour l'élément de volume. Certaines molécules auront leur force vive augmentée, d'autres diminuée, c'est-a-dire que l'équilibre thermique sera troublé et les chocs ultérieurs auront pour effet de produire un réarrangement qui égalisera les énergies cinétiques moyennes dans toutes les orientations et fera apparaître un moment paramagnétique d'en-semble. En effet, comme on le verra plus loin (37), il résulte de ce réarrangement d'après la théorie des gaz, que les directions de moindre énergie potentielle, c'est-à-dire pour lesquelles l'aimant moléculaire est parallèle au champ extérieur, se trouveront privilégiées. L'apparition du paramagnétisme, contrairement à celle du diamagnétisme, n'est donc pas immédiate, au moins dans le cas des gaz où les actions mutuelles entre molécules ne se manifestent qu'au moment des chocs, et ces actions mutuelles sont indispensables pour que le paramagnétisme apparaisse. Le réarrangement des énergies cinétiques se produit dans le Cas des gaz en un temps de l'ordre de ce que Maxwell a appelé le temps de relaxation, temps nécessaire pour qu'une perturbation locale à partir du régime permanent disparaisse dans le gaz par suite des chocs entre molécules. Ce temps de relaxation est de l'ordre 10^(-10) seconde, de sorte que l'apparition du paramagnétisme est pratiquement instantanée. D'autant plus que nous ne savons pas établir de champs magnétiques permanents en un temps de cet ordre. On conçoit aussi comment il se fait que les propriétés magnétiques puissent disparaître quand il s'agit de vibrations électromagnétiques un peu rapides qui ne laissent pas au réarrangement, à cet amortissement particulier, le temps de se produire. Le diamagnétisme doit subsister, et même exister seul dans ce cas pour les corps ordinairement magnétiques, mais il est beaucoup trop faible pour qu'on puisse s'en apercevoir. Enfin, contrairement à ce qui se passe dans le cas du diamagnétisme, il résultera du réarrangement un changement de la température moyenne du milieu magnétique. On en peut déduire, par application du principe de Carnot, que la température devra modifier les propriétés magnétiques, tandis qu'elle n'agit pas sur le diamagnétisme. Ce sont au moins qualitativement les lois de M. Curie. Nous préciserons plus loin (37).
17. Remarquons enfin que le résultat essentiel du n°12 est susceptible d'une interprétation très simple qui se précisera d'ailleurs par la suite. La relation
delta(M) = -[H*(e^2)/(4*m)]*[(r^2)(barre)],
peut s'écrire, s'il s'agit d'une orbite circulaire,
delta(M) = -[H*(e^2)*S]/[4*Pi*m] = -[(e^2)/(4*Pi*m)]*[H*S],
La variation de moment magnétique du courant particulaire est déterminée par le flux d'induction magnétique HS que le champ extérieur produit à travers lui. C'est précisément le résultat qu'on obtiendrait en appliquant tout simplement au courant particulaire les lois élémentaires de l'induction pour les circuits ordinaires, à condition de lui supposer une résistance nulle et une self-induction L; i étant le courant, l'équation d'induction donne
d(L*i)/dt = -d(H*S)/dt,
delta(L*i) = -H*S,
Or
delta(M) = delta(S*i) = -[(e^2)/(4*Pi*m)]*[H*S],
Il suffirait de prendre
[(e^2)/(4*Pi*m)]*(L*i) = (S*i),
(5) S/L = [(e^2)/(4*Pi*m)], L = [4*(Pi^2)*(r^2)*m]/(e^2).
Cette self-induction apparente due à l'inertie de l'électron ne s'identifiera, comme on va le voir, avec une self-induction véritable, correspondant à la création d'un champ magnétique par le courant particulaire, que si l'inertie de l'électron est tout entière d'origine électromagnétique.
III - LA THÉORIE DE WEBER ET L'INERTIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
18. On sait comment Weber avait proposé d'expliquer le diamagnétisme par la présence de circuits fermés, de résistance nulle, tels par conséquent qu'au moment où l'on veut établir un champ extérieur, ces circuits soient le siège d'un courant induit, diamagnétique d'après la loi de Lenz, déterminé par la condition que la variation de flux soit nulle an travers du circuit. Les courants particulaires que nous avons envisagés sont en somme analogues aux circuits de Weber et permettent d'expliquer à la fois le magnétisme par leur orientation variable et le diamagnétisme par les phénomènes d'induction dont ils sont le siège. Mais la variation que nous avons obtenue pour leur moment magnétique lors de la superposition d'un champ extérieur H
delta(M) = -[H*(e^2)/(4*m)]*[(r^2)(barre)],
n'implique nullement la constance du flux à travers l'orbite. La production du champ H produit un accroissement de flux HS dû au système producteur du champ; pour trouver la variation totale du flux il nous faut faire inter-venir la self-induction vraie L' du courant particulaire, distincte de la self-induction apparente L dont nous avons seulement parlé jusqu'ici (17). Cette self-induction vraie correspond à l'énergie du champ magnétique produit par l'électron pendent son déplacement, énergie proportionnelle au carré du champ, c'est-à-dire au carré de la vitesse ou de l'intensité du courant particulaire et ayant pour valeur (1/2)*(L')*(i^2). Supposons, pour simplifier, l'orbite circulaire de rayon r et parcourue d'un mouvement uniforme pendant la période tau. L'énergie magnétique, proportionnelle au carré de la vitesse, tant que celle-ci n'est pas voisine de celle de la lumière, doit être fournie au moment du changement de vitesse et par suite représente une partie au moins de l'énergie de mise en mouvement de l'électron (1/2)*m*(v^2). Soit rho le rapport de ces deux énergies, rapport égal à 1 si toute l'inertie est d'origine électromagnétique ; on aura :
(1/2)*(L')*(i^2) = rho*(1/2)*m*(v^2),
Le flux de self-induction à travers l'orbite est (L')*i :
(L')*i = [rho*m*(v^2)]/i,
Or
v = (2*Pi*r)/tau et i = e/tau,
(L')*i = [4*(Pi^2)*(r^2)*rho*m]/(e*tau) = [(4*Pi*rho*m)/(e^2)]*M,
Quand le moment magnétique varie par suite de la superposition du champ extérieur H, nous avons vu que
delta(M) = -[H*(e^2)/(4*m)]*(r^2),
Donc
delta((L')*i) = -rho*H*Pi*(r^2) = -rho*H*S.
La variation totale du flux à l'intérieur du courant particulaire est donc
delta(phi) = H*S + delta((L')*i) = (1 - rho)*H*S,
variation qui est nulle conformément à l'hypothèse de Weber si rho est égal à 1, c'est-à-dire si l'inertie de l'électron est tout entière d'origine électromagnétique. Il est remarquable que cette conception de Weber pour l'explication du diamagnétisme impliquait, de manière assez indirecte il est vrai, la nature électromagnétique de l'inertie. La self-induction apparente, d'origine cinétique, se confond alors avec la self-induction vraie, de nature magnétique, et l'on a
L = L' = [4*(Pi^2)*(r^2)*m]/(e^2).
19. Il est facile de montrer que la modification diamagnétique ne correspond qu'à un changement insignifiant dans le moment magnétique du courant particulaire. Nous avons vu en effet que ce moment magnétique projeté sur la direction du champ a pour valeur
M = (e*S)/tau,
et qu'il subit par suite de la variation du champ une modification
delta(M) = -[H*(e^2)/(4*m)]*[(r^2)(barre)].
On a, en moyenne, dans le cas d'orbites circulaires projetées, de rayon quadratique moyen r(1),
[(r^2)(barre)] = ((r(1))^2)/3, S = Pi*((r(1))^2)/2.
La variation relative du moment magnétique est:
delta(M)/M = [(H*tau)/(6*Pi)]*(e/m),
e/m est de l'ordre 10^(7) pour les électrons négatifs et moindre encore pour les positifs, tau est de l'ordre des périodes lumineuses, c'est-à-dire 10^(-15), donc H devrait être de l'ordre 10^(9) pour que delta(M)/M approche de l'unité. Il en résulte que les champs magnétiques les plus intenses que nous sachions créer, toujours inférieurs à 10^(5), ne produisent dans le moment magnétique des courants particulaires qu'une variation inférieure au dix-millième.
20. Comme le moment magnétique du courant particulaire, son intensité moyenne (égale à e/tau puisque chaque région de l'orbite est traversée une fois pendant la durée de révolution tau par la charge e) varie très peu pendant l'établissement des champs magnétiques extérieurs que nous savons produire. Nous verrons plus loin (33) que dans le cas d'une orbite circulaire parcourue sous l'action d'une force centrale, le rayon de l'orbite n'est pas modifié pendant l'établissement du champ et que seule la période tau change, comme l'intensité moyenne e/tau et le moment (e*S)/tau, d'une quantité au plus égale au dix-millième de sa valeur. Ce changement de période correspond précisément au phénomène de Zeeman qui modifie très peu, comme on le sait, la période des vibrations lumineuses, même dans les champs les plus intenses. Par là le phénomène de Zeeman se trouve relié à la modification diamagnétique et permet de démontrer sa faible importance relative. Il en résulte que les déplacements des courants pelliculaires peuvent dans tous les cas expérimentaux être considérés comme s'effectuant pratiquement à intensité constante et qu'il n'y a pas lieu à ce point de vue d'établir de distinction entre les phénomènes d'induction produits par déplacement de courants constants ou d'aimants.
IV. — LE PHENOMENE DE ZEEMAN.
21. M. Lorentz a montré comment la théorie des électrons permet de prévoir le phénomène de Zeeman dans le cas où le corpuscule qui crée un courant particulaire gravite autour d'un centre qui l'attire proportionnellement à la distance, c'est-à-dire dans le cas où le système possède une période indépendante des conditions initiales du mouvement. M. Larmor, sous cette même restriction d'un système possédant des périodes indépendantes des conditions initiales, a obtenu l'effet Zeeman pour tin ensemble d'électrons tous identiques. Il est remarquable que nos résultats sur le diamagnétisme, dont reflet Zeeman est corrélatif, permettent d'éliminer cette restriction, et d'obtenir sous l'action d'un champ magnétique, au moins pour une orbite circulaire, un changement de période indépendant de la loi d'action qui maintient l'électron sur l'orbite. Soit omega la vitesse angulaire (2*Pi)/tau avec laquelle l'électron parcourt une orbite de rayon r sous l'action d'une force centrale attractive f(r). En l'absence du champ magnétique l'égalité de la force attractive et de la force centrifuge donne
f(r) = m*(omega^2)*r,
Si l'on établit lentement par rapport à la période le champ magnétique H perpendiculaire au plan de l'orbite, et nous avons vu que cette condition de lenteur est toujours remplie, la symétrie du phénomène implique que l'orbite restera circulaire. D'ailleurs nous allons voir que son rayon ne varie pas; elle restera donc circulaire même si la condition de lenteur n'est pas remplie et si l'action du champ électrique créé au moment de l'établissement du champ se traduit par une impulsion tangentielle. En général, supposons que le rayon varie de delta(r) et la vitesse angulaire de delta(omega); aux deux forces précédemment envisagées vient s'ajouter la force, également radiale, due au déplacement de l'électron dans le champ magnétique et qui a pour valeur H*e*v = H*e*omega*r. Le champ étant compté positivement dans le même sens que le moment magnétique du courant particulaire, l'équation du mouvement devient. :
(6) f(r + delta(r)) = m*((omega + delta(omega))^2)*(r + delta(r)) + H*e*omega*r,
ou, en conservant seulement les termes du premier ordre:
f'(r)*delta(r) = 2*m*omega*r*delta(omega) + m*(omega^2)*delta(r) + H*e*omega*r
(7) [f'(r) - m*(omega^2)]*delta(r) = 2*m*omega*r*delta(omega) + H*e*omega*r.
D'autre part, la vitesse aréolaire est omega*(r^2)/2 et la modification diamagnétique établie plus haut nous donne:
delta(A) = delta(omega*(r^2)/2) = -[(H*e)/(4*m)]*(r^2),
(r^2)*delta(omega) + 2*omega*r*delta(r) = -[(H*e)/(2*m)]*(r^2),
-4*m*(omega^2)*delta(r) = 2*m*omega*r*delta(omega) + H*e*omega*r.
En retranchant de (7) il vient:
[f'(r) + 3*m*(omega^2)]*delta(r) = 0.
Ce qui conduit à la condition
delta(r) = 0, delta(omega) = -[(H*e)/(2*m)],
à moins que la loi d'action ne satisfasse à la condition toute particulière
f'(r) = -3*m*(omega^2),
qui, jointe à la condition de mouvement circulaire
f(r) = m*(omega^2)*r,
donne
f'/f = -3/r,
d'où
f = K/(r^2).
Donc, à moins que la force attractive ne varie rigoureusement en raison inverse du cube de la distance, on aura une variation nulle du rayon de l'orbite et une variation de vitesse angulaire -(H*e)/(2*m) indépendante des conditions
(à suivre)
| |||