« Sur la théorie du mouvement brownien » : différence entre les versions

M. Einstein (note 2), qui a donné récemment une formule permettant de prévoir quel est, au bout d'un temps donné tau, le carré moyen mean square (delta x), du déplacement delta x d'une particule sphérique dans une direction donnée x par suite du mouvement brownien dans un liquide, en fonction du rayon a de la particule, de la viscosité mu du liquide et de la température absolue T. Cette formule est

 

 

où R est la constante des gaz parfaits relative à une molécule-gramme et N

II. J'ai pu constater tout d'abord qu'une application correcte de la méthode de M. Smoluchowski conduit à retrouver la formule de M. Einstein exactement et, de plus, qu'il est facile de donner, par une méthode toute différente, une démonstration infiniment plus simple. Le point de départ est toujours le même le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique entre les divers degrés de liberté d'un système en équilibre thermique exige qu'une particule en suspension dans un fluide quelconque possède, dans la direction x, une énergie cinétique moyenne RT/2N, à celle d'une molécule gazeuse de nature quelconque, dans une direction donnée, à la même température. Si ksi = dx/dt est la vitesse à un instant donné de la particule dans la direction considérée, on a donc pour la moyenne étendue à un grand nombre de particules identiques de masse m

 

 

Une particule comme celle que nous considérons, grande par rapport à la distance moyenne des molécules du liquide, et se mouvant par rapport à celui-ci avec la vitesse ksi subit une résistance visqueuse égale à -6*Pi*mu*a*ksi d'après la formule de Stokes. En réalité, cette valeur n'est qu'une moyenne, et en raison de l'irrégularité des chocs des molécules environnantes, l'action du fluide sur la particule oscille autour de la valeur précédente, de sorte que l'équation du mouvement est, dans la direction x:

 

 

Sur la force complémentaire X nous savons qu'elle est indifféremment positive et négative, et sa grandeur est telle qu'elle maintient l'agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse finirait par arrêter. L'équation (3), multipliée par x, peut s'écrire

 

 

1. M. von Smoluchowski, Ann. d. Physik, 4° série, t. XXI, 1906, p. 756.

Si nous considérons un grand nombre de particules identiques et prenons la moyenne des équations (4) écrites pour chacune d'elles, la valeur moyenne du terme X*x est évidemment nulle à cause de l'irrégularité des actions complémentaires X, et il vient, en posant z = d mean square(x)/dt,

 

 

La solution générale

 

 

en prend la valeur constante du premier terme en régime permanent au bout d'un temps de l'ordre m/(6*Pi*mu*a) ou 10(-8) seconde environ pour les particules sur lesquelles le mouvement brownien est observable. On a donc, en régime permanent d'agitation,

 

 

d'où, pour un intervalle de temps tau,

 

 

Le déplacement delta x d'une particule est donné par

 

 

et, comme ces déplacements sont indifféremment positifs et négatifs,

 

 

d'où la formule (1).