Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques

Gaston Darboux

Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques

1869
Comptes Rendus, 69, p. 394

GÉOMÉTRIE. — Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques. Note de M. G. Darboux, présentée par M. Bertrand.

« Dans une Communication faite à l’Académie, le 7 juin dernier, j’ai annoncé qu’on pouvait obtenir une infinité de systèmes triples, orthogonaux et algébriques, analogues au système des surfaces homofocales du second degré. Mes études sur ce système ne sont pas encore terminées ; mais comme la remarque précédente a attiré l’attention de quelques géomètres, je me propose de la justifier en donnant, dès à présent, les principes de la méthode que j’ai suivie.

» Supposons qu’on connaisse un système triple de surfaces orthogonales, on saura déterminer les lignes de courbure de chacune des surfaces faisant partie du système. Si, par le centre d’une sphère, on mène des parallèles aux normales de l’une des surfaces, à un point de la surface correspondra un point de la sphère. Aux deux systèmes de lignes de courbure de la surface, correspondront sur la sphère deux systèmes de lignes qu’on sait être orthogonales. On voit donc que, toutes les fois qu’on aura un système triple orthogonal ou simplement les lignes de courbure d’une surface, on pourra obtenir, par des éliminations, un système de lignes sphériques se coupant à angle droit. De ce système, on peut d’ailleurs, au moyen d’une projection stéréographique, déduire un système de lignes planes orthogonales. Donc : Toutes les fois qu’on connaîtra un système triple formé de surfaces orthogonales, on pourra, par des éliminations, en déduire un système de courbes planes orthogonales.

» Si l’on examine les opérations analytiques par lesquelles on passe d’un système à 3 variables à un système orthogonal à 2 variables, on remarque que ces opérations conservent un sens bien défini et sont encore possibles lorsqu’on emploie, au lieu d’un système de surfaces orthogonales, à 3 variables, $x,y,z$, un système orthogonal à n variables. Il est facile d’établir, en toute rigueur, qu’elles conduisent à un système à $n-1$ variables ; mais ces opérations analytiques ne pourraient être interprétées géométriquement, au moins d’une manière simple, que si l’on admettait la notion d’espaces ayant plus de trois dimensions.

» Quoi qu’il en soit, on voit que, si l’on connaît un système orthogonal à 4 variables, on en déduira un système à 3 variables, c’est-à-dire un système triple de surfaces orthogonales ; de même, d’un système à 5 variables, on pourra déduire un système à 4 variables et de celui-ci un nouveau système à 3 variables, et ainsi de suite.

» Il résulte donc de ce qui précède, que si l’on connaît un système orthogonal à un nombre quelconque de variables, on pourra obtenir une infinité de nouveaux systèmes aussi généraux que l’on déduira du premier par des éliminations successives.

» On sait quelle est l’importance en mécanique des systèmes orthogonaux à n variables. L’un d’eux, le système des coordonnées elliptiques, est bien connu. On déduira de ce système un second système orthogonal qui, pour le cas de 3 variables, se compose des surfaces du quatrième degré étudiées dans ma précédente Communication. De ce système du quatrième ordre, on déduit un nouveau système formé généralement de surfaces du huitième ordre, et ainsi de suite. Pour étudier ces nouveaux systèmes, je me suis d’abord proposé de trouver l’expression des coordonnées rectangles, $x,y,z$, en fonction de paramètres curvilignes $\rho ,\rho _{1},\rho _{2}$. Les formules qui donnent cette expression contiennent des radicaux carrés de plus en plus compliqués. La présence de ces carrés permet de rattacher les différents systèmes orthogonaux aux classes successives de fonctions abéliennes à radicaux carrés.

» Ces formules nouvelles n’auraient qu’un intérêt bien limité, si elles s’appliquaient seulement à des surfaces très-particulières faisant partie de systèmes orthogonaux. Mais on peut transformer homographiquement les surfaces de chaque système. Alors les formules du second système deviennent applicables à toutes les surfaces du troisième degré et à toutes les surfaces du quatrième degré à ligne double. Un fait analogue se présente pour les formules correspondant aux systèmes orthogonaux plus compliqués. De cette manière, nos expressions analytiques prennent leur place dans la théorie générale des surfaces algébriques.

» La méthode dont j’ai essayé de donner une idée au commencement de cette Note conduit d’ailleurs à d’autres conséquences. Grâce à elle, on peut poser d’une manière nouvelle le problème de la recherche de tous les systèmes triples orthogonaux. Comme la solution de ce problème ferait faire un progrès notable à la théorie des équations aux dérivées partielles, je reviendrai sur ce point, dans une autre occasion. »