|
Vraisemblablement, c'est après avoir écrit et biffé ces lignes que Galois s'est décidé à écrire le passage « à reporter dans les définitions ». Un peu plus bas est la note «… je n'ai pas le temps », puis cinq lignes biffées, mais qui sont d'une écriture calme et remontent peut-être à la première rédaction, les voici:
Car si l'on élimine /''r'' entre f(V, r) = o ctet F ''r''= o F(i''r'') étant du degré premier ''p'', il ne peut arriver que de deux choses l'une : ou le résultat de l'élimination sera (de meinmême degré cnen V que f(V, z''r'') onlou il sera d'un degré ''p'' fois plus grand.
Ce passage biffé doit évidemment être rapproché des indications données dans le premier alinéa de la note de la page 40. Ces indications sont de Liouville; la note de Chevalier était ainsi conçue:
« ''Il y a quelque chose…'' »
C'est ainsi qu'elle figure dans l'épreuve. Les six premières lignes de la note de la page 40 sont donc de Liouville.
C'est ainsi qu'elle figure dans l'épreuve. Les six premières lignes de la note de la page /o sont donc de Liouville. Au reste, Liouville a été visiblement préoccupé de cee endroit (proposition 11) du texte de Galois : il a jugé un moment convenable de reprendre l'hypothèse primitive de Galois (p premier) et d'éclaircir complètement la démonstration dans ce cas, par une note que je crois devoir transcrire, non pas qu'elle puisse apprendre quelque chose au lecteur, mais parce qu'elle me semble une trace touchante des soins et des scrupules que Liouville apportait dans sa publication ; le renvoi correspondrait à la ligne o de la page /io des OEuvres : Ceci mérite d'être expliqué avec quelque détail. Designons par, '(V) = o l'équation dont l'auteur parle, et soient f(NV, r), f1(V,,..., f..., - ) les factcurs irréductibles dans lesquels, (V) devient décomposable par l'adjonction de r, en sorte que, ( V) = f( ) (,,) 7( v (, )... / (V, I,). Comme r est racine d'une équation irréductible, on pourra dans le second membre remplacer r par r', 'r",., r(1). Ainsi (V)I) est le produit des i quantités suivantes f(V, /).(V, )... f(V, )(-') f,(V, r) fi(V, r')... fl(V,,.(-i)).fi- I (V,,')fi-i(V, I.,)... fi-i(V, 7(p-1)), dont chacune, symétrique en r, r',..., r' (P-1 et par suite exprimable en fonction rationnelle de V indépendamment de toute adjonction, doit diviser I(V)P et se réduire en conséquence a une simple puissance cl polynome q(V) qui cesse de se résoudre en facteurs lorsqu'on n'adjoint pas les auxiliaires r, r', etc. J'ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations J(V, r') = o,fl(V, r)= o,...,fi-_(V, r) = o qui dérivent de,'(V)= o et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d'être du même degré. En faisant donc .f(V,,)f(V, ')...f(V, (/,-,))- = (V)IV, on en conclura p = il. Mais p est premier ct i > i; donc on a i = p, d'o-) r = t, ct enfin (V) = f(V, r)f(V, r')... f(V,,(v —li). Cc qu'il fallait demontrer. LIOUVIILE. ▼
Au reste, Liouville a été visiblement préoccupé de cet endroit (proposition II) du texte de Galois : il a jugé un moment convenable de reprendre l'hypothèse primitive de Galois (''p'' premier) et d'éclaircir complètement la démonstration dans ce cas, par une note que je crois devoir transcrire, non pas qu'elle puisse apprendre quelque chose au lecteur, mais parce qu'elle me semble une trace touchante des soins et des scrupules que Liouville apportait dans sa publication ; le renvoi correspondrait à la ligne 20 de la page 40 des ''Œuvres'' :
Assurément, en rédigeant cette note, Liouville se conformait au précepte d'être ( transcendantalement clair ) qu'il a rappelé dans l'avertissement aux OEuvres mathématiques de Galois. Il s'est aperçu ensuite en réflchissant davantage, que la proposition T1 n'impliquait pas que le nombre p fit premier et il a soigneusement noté les différences essentielles entre les deux rédactions successives de l'auteur. Qu'il ait reculé devant les explications nécessaires pour donner à la pensee de Galois toute la clarté qu'il faudrait, cela, aujourd'hui, n'a aucun inconvénient. Page 41 des OEuvres, les lettres l, v remplacent les lettres p, n dont s'est servi Galois ; pareil changement a été fait dans la lettre à Chevalier ; ces petites modifications, destinées à éviter des confusions possibles, sont de Liouville : les lettres p, n figurent encore dans l'épreuve. Les lignes 7, 8, 9 de la même page sont une addition marginale, mais qui ne semble pas de la dernière heure. Cette addition est suivie de la nouvelle rédaction de la proposition III, datée de 1832, sur laquelle l'attention est appelée dans la note qui est au bas de la page qui nous occupe. Ici encore, Liouville est intervenu ; la note de Chevalier était ainsi conçue. Dans le manuscrit de Galois l'énoncé du théorème qu'on vient de lire se trouve en marge et vis-à-vis de la démonstration qu'il en avait écrite d'abord. Celle-ci est effacée avec soin ; l'énoncé précédent porte la date 1832 et montre par la manière dont il est écrit que l'auteur était extrêmement pressé : ce qui confirme l'assertion que j'ai avancée dans la note précédente. C'est donc Liouville qui a déchiffré et intercalé le texte periiniif de la proposition III. La phrase (il suffit... substitutions), placée entre parenthèses au bas de la page 43 des OEuvres et en haut de la page 44, est une note marginale. Page 46, ligne a4, Galois a simplement écrit ( Journal de lE col(, XVII ). Il y a dans les manuscrits de Galois une feuille (double) qui est une sorte de brouillon de la proposition V ; ce brouillon a plasse en grande partie dans la rédaction du Mémoire ('). Ic ) Jc e pcnc l pas lU'il )y;it ilrit l pub!lier (,c brouillon. ▼
''Ceci mérite d'être expliqué avec quelque détail.''
▲C'est ainsi qu'elle figure dans l'épreuve. Les six premières lignes de la note de la page /o sont donc de Liouville. Au reste, Liouville a été visiblement préoccupé de cee endroit (proposition 11) du texte de Galois : il a jugé un moment convenable de reprendre l'hypothèse primitive de Galois (p premier) et d'éclaircir complètement la démonstration dans ce cas, par une note que je crois devoir transcrire, non pas qu'elle puisse apprendre quelque chose au lecteur, mais parce qu'elle me semble une trace touchante des soins et des scrupules que Liouville apportait dans sa publication ; le renvoi correspondrait à la ligne o de la page /io des OEuvres : Ceci mérite d'être expliqué avec quelque détail. DesignonsDésignons par, '(V) = o l'équation dont l'auteur parle, et soient f(NV, r), f1(V,,..., f..., - ) les factcursfacteurs irréductibles dans lesquels, (V) devient décomposable par l'adjonction de r, en sorte que, ( V) = f( ) (,,) 7( v (, )... / (V, I,). Comme r est racine d'une équation irréductible, on pourra dans le second membre remplacer r par r', 'r",., r(1). Ainsi (V)I) est le produit des i quantités suivantes f(V, /).(V, )... f(V, )(-') f,(V, r) fi(V, r')... fl(V,,.(-i)).fi- I (V,,')fi-i(V, I.,)... fi-i(V, 7(p-1)), dont chacune, symétrique en r, r',..., r' (P-1 et par suite exprimable en fonction rationnelle de V indépendamment de toute adjonction, doit diviser I(V)P et se réduire en conséquence a une simple puissance cl polynome q(V) qui cesse de se résoudre en facteurs lorsqu'on n'adjoint pas les auxiliaires r, r', etc. J'ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations J(V, r') = o,fl(V, r)= o,...,fi-_(V, r) = o qui dérivent de,'(V)= o et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d'être du même degré. En faisant donc .f(V,,)f(V, ')...f(V, (/,-,))- = (V)IV, on en conclura p = il. Mais p est premier ct i > i; donc on a i = p, d'o-) r = t, ct enfin (V) = f(V, r)f(V, r')... f(V,,(v —li). Cc qu'il fallait demontrer. LIOUVIILE.
▲Assurément, en rédigeant cette note, Liouville se conformait au précepte d'être ( transcendantalement clair ) qu'il a rappelé dans l'avertissement aux OEuvres''Œuvres'' mathématiques de Galois. Il s'est aperçu ensuite en réflchissantréfléchissant davantage, que la proposition T1 n'impliquait pas que le nombre p fit premier et il a soigneusement noté les différences essentielles entre les deux rédactions successives de l'auteur. Qu'il ait reculé devant les explications nécessaires pour donner à la pensee de Galois toute la clarté qu'il faudrait, cela, aujourd'hui, n'a aucun inconvénient. Page 41 des OEuvres''Œuvres'', les lettres l, v remplacent les lettres p, n dont s'est servi Galois ; pareil changement a été fait dans la lettre à Chevalier ; ces petites modifications, destinées à éviter des confusions possibles, sont de Liouville : les lettres p, n figurent encore dans l'épreuve. Les lignes 7, 8, 9 de la même page sont une addition marginale, mais qui ne semble pas de la dernière heure. Cette addition est suivie de la nouvelle rédaction de la proposition III, datée de 1832, sur laquelle l'attention est appelée dans la note qui est au bas de la page qui nous occupe. Ici encore, Liouville est intervenu ; la note de Chevalier était ainsi conçue. Dans le manuscrit de Galois l'énoncé du théorème qu'on vient de lire se trouve en marge et vis-à-vis de la démonstration qu'il en avait écrite d'abord. Celle-ci est effacée avec soin ; l'énoncé précédent porte la date 1832 et montre par la manière dont il est écrit que l'auteur était extrêmement pressé : ce qui confirme l'assertion que j'ai avancée dans la note précédente. C'est donc Liouville qui a déchiffré et intercalé le texte periiniif de la proposition III. La phrase (il suffit... substitutions), placée entre parenthèses au bas de la page 43 des OEuvres et en haut de la page 44, est une note marginale. Page 46, ligne a4, Galois a simplement écrit ( Journal de lE col(, XVII ). Il y a dans les manuscrits de Galois une feuille (double) qui est une sorte de brouillon de la proposition V ; ce brouillon a plasse en grande partie dans la rédaction du Mémoire ('). Ic ) Jc e pcnc l pas lU'il )y;it ilrit l pub!lier (,c brouillon.
- I -
Avant de parler du manuscrit contenant le fragment imprimé dans les dernières pages des OEuvres''Œuvres'', je dois dire un mot d'une feuille détachée (') en partie d(eclli'e, qui, par le format du papier, la couleur de l'encre et la forme de l'écriture, parait avoir appartenu au cahier dont ce manuscrit faisait partie. Elle contient une rédaction antérieure de la proposition I et de sa démonstraliondémonstration, rédaction qui semble avoir été écrite au moment même où Galois venait de trouver cette démonstration : l'énoncé de la proposition fondamentale est, presque textuellement, le même que dans le Mémoire sur des conditions de résolubilité, puis viennent seize lignes barrées que je reproduis : Considérons d'abord un cas particulier. Supposons que l'équation donnée n'ait aucun diviseur rationnel et que toutes ses racines se déduisent rationnellement de l'une quelconque d'entre elles. La proposition sera facile à demontrerdémontrer. En effet, dans notre hypothèse, toute fonction des racines s'exprimera en fonction d'une seule racine et sera de la forme y.R, x étant une racine. Soient X. XI =fX X. =fx..., X,,-i =f,,_-1X les in racines. Écrivons les in permutations ''1 f ixAl X 221 *X, f -1X2-,/n-l J /fiX l J/lxn *** Jfi-lXn, 1 X 1 1 f*I I 2X........ ft ILe reste de la démonstration suivait, contenu dans une douzaine de lignes qui sont devenues les lignes 13-26 de la page 39 des OEuvres : on distingue assez bien les x surcharges des V de la rédaction définitive ; ces douze lignes sont d'ailleurs réunies en marge par un trait, avec l'indication : à reporter plus loin. Galois a changé d'idée ; il trouve maintenant inutile de s'arrêter au cas particulier ; mais il semble que ce cas particulier lui ait été d'abord (')
C'est M. P. l)lpuy qui a appelé mon attention sur cette feuille. Quelques autres débris apportent un peu de Ilucutr sur la suite des idées de Galois : ils seront publiés dans un second article nécessaire, car ets doue lignes que je viens de dire sont suivies de celles-ci : Le théorèm est donc démontré dans l'hypothèse particulière que nons avons établie. Revenons an cas général. Ces trois lignes sont biffées avec un soin particulier, Galois est en possession de la démonstration generalegénérale, sous la forme simple et definitivedéfinitive ; il est joyeux ; il couvre de hachures les seize lignes I)is les trois lignes dont il n'a plus besoin. Vient ensuite la vraie démonstration, les deux dernières lignes de la page 38 des OEucles et le commencement de la page 39, jusqu'à :( je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriété énoncée ). Puis l'indication, en marge, à demi déchirée : ette:ici lnc paztzie satee, et les lignes 2a/, 2 de la page 39 des OEuvres. Ne semble-t-il pas qu'on assiste à un moment essentiel dans le développement de la pensée de Galois ? L'émotion s'accroît encore à la lecture des lignes du bas de la feuille, couvertes de ratures et de surcharges, et où le nom propre a disparu dans un trou, produit d'une tache et de l'usure : Je dois observer que j'avais d'abord démontré le théorème autrement, sans penser à me servir de cette propriété très simple des équations, propriété que je regardais comme une conséquence du théorème. C'est la lecture d'un lemoire qui m'a suggéré. La fin de la ligne est indéchiffrable : apres suggéré, il y a des mots, l'un au-dessus de l'autre, qui sont biffés, peut-être cetie surmonte de la pensée, puis, dans la partie la plus usée du papier, assertion ou analyse, ou autre chose, et enfin, plus bas, je crois lire que je dois. Quant au nom propre, les quelques traits qui subsistent, à côté du trou, ne confirment pas la supposition qui vient de suite à l'esprit (page 37, ligne I i), que ce nom est celui d'Abel. Sur la marge de cette curieuse feuille, se trouvent encore quelques formules, à demi effacées, qui correspondent visiblement aux lemmes II et III.
==DES EQUATIONS PRIMITIVES QUI SONT SOLUBLES PAR RADICAUX<ref>On a le manuscrit et la copie par Chevalier de ce fragment</ref>==
|
