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M. Dupuy a bien voulu procéder à un premier classement des manuscrits qui m'avaient été remis et en séparer ceux qui appartiennent incontestablement à Galois, dont il connaît bien l'écriture.
<pages index="Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu" from=9 to=18 />
Les lignes qui suivront, les quelques fragments ou notes que je pourrai publier n'ajouteront rien à la gloire de Galois : elles ne sont qu'un hommage rendu à cette gloire dont l'éclat n'a fait que grandir depuis la publication de Liouville.
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<references/>
Cette publication a été faite de la façon la plus judicieuse ; mais, soixante ans plus tard, on est tenu à moins de réserve. Les mathématiciens s'intéresseront toujours à Galois, à l'homme et à ses écrits. Il est de ceux dont on voudrait tout savoir.
Je m'occuperai tout d'abord des Œuvres posthumes et des papiers qui s'y rapportent. Pour la plupart de ces papiers, on possède la copie de Chevalier ; d'ailleurs l'écriture de Galois est, d'ordinaire, parfaitement lisible et même assez élégante ; mais elle est parfois abrégée, hâtive ; les ratures et les surcharges abondent ; j'aurai à signaler quelques mots et quelques phrases illisibles.
L'importance de l'œuvre de Galois sera mon excuse pour la minutie de certains détails, et j'ai cru devoir entrer, et qui va jusqu'au relevé de fautes d'impression, dont le lecteur attentif ne peut manquer de s'apercevoir. Je ne me dissimule pas ce que cette minutie, en elle-même, a de puéril.
Les Œuvres posthumes occupent les pages 408-444 du Tome XI (1846) du ''Journal de Mathématiques pures et appliquées'' et les pages 25-61 des ''Œuvres mathématiques d'Évariste Galois publiées sous les auspices de la Société mathématique de France''<ref>Paris, Gauthier-Villars, 1897</ref>. C'est, sauf avis contraire, à ce dernier ouvrage que se rapportent tous les renvois.
==LETTRE A AUGUSTE CHEVALIER==
(pages : 25-32).
Dimension du papier : 31 x 20. La lettre, datée deux fois, au commencement et à la fin (29 mai 1832), contient sept pages : le bas
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de la septième, au-dessous de la signature, a été coupé sur une longueur d'environ 8 cm.
Le verso de la dernière page contient le brouillon de deux lettres, d'ailleurs biffées, dont l'une porte une date, biffée aussi ; on lit 14 mai 83 ; il est vraisemblable que Galois a écrit sa lettre à Chevalier sur la première feuille venue, une feuille sur laquelle il avait griffonné une quinzaine de jours auparavant.
Ces brouillons sont disposés d'une façon assez singulière : ils comportent des phrases entières, puis des lignes, blanches au milieu avec un mot au commencement et un mot à la fin : ces mots sont souvent illisibles, tant parce qu'il est impossible de leur attribuer un sens que par suite des ratures : celles-ci vont de haut en bas : il en est ainsi dans plusieurs des manuscrits de Galois ; ici, elles semblent faites avec une barbe de plume, ou un bout de bois, qu'il aurait trempé dans l'encre ; le premier brouillon de lettre est à gauche, le second à droite et se continue dans une autre direction ; Galois a fait tourner son papier d'un angle droit. Voici ce que j'ai pu lire :
''brisons là sur cette affaire je vous prie''<br>
''Je n'ai pas assez d'esprit pour suivre''<br>
''une conversation de ce genre''<br>
''mais je tâcherai d'en avoir assez pour''<br>
''converser avec vous comme je le faisais''<br>
''avant que rien soit arrivé. Voilà''<br>
''M. le (illisible)''<br>
''en a qui''<br>
''doit vous qu'à''<br>
''moi et ne plus penser à des choses''<br>
''qui ne (illisible) exister et qui''<br>
''n'existeront jamais''<br>
'''14 mai 83'''
''J'ai suivi votre conseil et j'ai réfléchi''<br>
''à qui s'est''<br>
''passé sous quelque''<br>
''dénomination que ce puisse<ref>La lecture des quatre premiers mots de cette ligne est douteuse.</ref> être (illisible) par s'établir''<br>
''entre nous. Au reste M. soyez (?)''<br>
''persuadé qu'il n'en aurait sans doute''<br>
''jamais
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été davantage ; vous supposez''<br>
''mal et vos regrets sont mal fondés.''<br>
''La vraie amitié n'existe guère''<br>
''qu'entre des personnes de même sexe''<br>
''Surtout des''<br>
''amis. Sans doute''<br>
''le vide qu l’absence''<br>
''de tout sentiment de ce genre.... (illisible)''<br>
''confiance... mais elle a été''<br>
''très (illisible)<ref>Il y a une tache d'encre sur le mot; on distingue nettement les deux dernières lettres ''ée''</ref> ..... vous m'avez''<br>
''vu triste z demandé''<br>
''le motif ; je vous ai répondu que''<br>
''j'avais des peines ; qu'on m'avait fait''<br>
''éprouver. J'ai pensé que vous prendriez''<br>
''cela comme toute personne devant''<br>
''laquelle on laisse tomber une parole''<br>
''pour (illisible) on n'est''<br>
''pas''<br>
''le calme de mes idées me laisse''<br>
''la liberté de juger avec beaucoup''<br>
''de réflexion les personnes que je vois''<br>
''habituellement ; c'est ce qui fait que''<br>
''j'ai rarement le regret de m'être''<br>
''trompé ou laissé influencer à leur égard.''<br>
''Je ne suis pas de votre avis pour''<br>
''les (illisible) plus que''<br>
''les (?) exiger''<br>
''ni se vous remercie''<br>
''sincèrement de tous ceux ou vous''<br>
''voudrez bien descendre en ma''<br>
''faveur.''
J'ai collationné le manuscrit avec le texte imprimé : il n'est guère utile de parler de quelques changements de notation, sans aucune importance, qui remontent à Liouville, de dire que Galois a écrit ''bulletin ferussac'' et non Bulletin de Férussac, ou encore de signaler, page 29 des ''Œuvres'', ligne 24, la substitution du mot « équation » au mot « réduction » que le sens indique suffisamment et qu'on lit dans le manuscrit et dans le texte de Liouville. Le point le plus intéressant est que le théorème de Legendre (
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page 3o, ligne 31)
FE'+ EF'- FF' = <math> \frac{\pi}{2} </math>,
est écrit par Galois non sons la forme qui précède, mais comme il suit :
E'F"- E"F' = <math> \frac{\pi}{2} \sqrt{-1} </math>
==MEMOIRE SUR LES CONDITIONS DE RESOLUBILITE PAR RADICAUX==
(pages 33-50)<ref>J'ai eu à ma disposition le manuscrit de Galois, la copie de Chevalier et une épreuve, Corrigée de la main de Liouville, mais ou ne figurent pas toutes les modifications apportées aux notes: j'aurai l'occasion de parler plusieurs fois de cette épreuve.</ref>.
Dans les quelques lignes d'introduction au Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux que Galois avait biffées (d'ailleurs très légèrement) et que Chevalier a conservées avec raison, Galois dit que le Mémoire est ''extrait'' d'un Ouvrage qu'il a présenté à l'Académie il y a ''un an''. Le manuscrit de Galois n'est pas un ''extrait'', c'est le texte même qui a été remis à l'Académie. Qu'il en soit ainsi, c'est ce que Chevalier avait signalé dans une note (page 33 des ''Œuvres'', note 2) ainsi conçue :
''J'ai jugé convenable de placer en tête de ce Mémoire la préface qu'on va lire, bien que je l'aie trouvée biffée dans le manuscrit. Ce manuscrit est précisemment celui que l'auteur présenta à l'Académie.''
La dernière phrase de cette note, qui figure dans la copie de Chevalier et sur l'épreuve dont j'ai parlée, a disparu du texte définitif. Liouville a-t-il voulu effacer la légère contradiction entre le texte et la note, a-t-il cru devoir se conformer au désir de Galois, qui semble avoir souhaité qu'on ignorât que ce Mémoire etait celui-la même qu'il avait présenté à l'Académie ; a-t-il jugé lui-même que, pour des raisons de convenance envers l'Académie, cette
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ignorance était préférable ? C'est là, en vérité, des questions dont la réponse importe bien peu, non plus que la petite inexactitude du mot ''extrait''. Il importe beaucoup plus que le texte du Mémoire de Galois ne se soit pas égaré, comme le précédent, et qu'il ait pu être remis l'auteur, qui y a fait plusieurs remaniements : ceux-ci, le plus souvent, peuvent se distinguer par l'écriture. La conjecture de Chevalier, à savoir que « Galois a relu son Mémoire pour le corriger avant d'aller sur le terrain » (note de la page 40), est tout a fait vraisemblable.
La première page de la couverture, qui subsiste, est fort sale, tachée d'encre, couverte de gribouillages, de bouts de calcul, à l'encre on au crayon, au recto et au verso, dans tous les sens ; quelques-unes des formules laissent supposer que Galois, en les traçant, pensait à quelque point de la théorie des fonctions elliptiques ; d'autres se rapportent à une suite récurrente.
En haut et à droite du recto on lit (écriture de Liouville) « Rapport du 4 juillet 1831 »; puis, en titre, d'une écriture qu'il serait probablement possible d'identifier :
MM. Lacroix<br>
Poisson<br>
commissaires<br>
le 17 jer 1831
le tout suivi d'un paraphe ; en face du nom de Poisson, il y a le mot ''vu'', d'une grosse écriture, celle de loisson sans doute. Au verso, entre des tâches et des calculs, Galois a écrit
Oh! chérubins.
On pleut bien supposer que cette apostrophe s'adresse à MM. Lacroix et Poisson.
Le manuscrit contient onze pages (38 x 25) ; la marge occupe la moitié de chaque page ; elle contient plusieurs notes et additions, dont les Lines remontent peut-être à la première rédaction, dont les autres ont été sans doute ajoutées par Galois, lorsqu'il a revu son travail pour la dernière fois telle est assurément celle qu'a signalée Chevalier, le tragique « Je n'ai pas le temps ».
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En marge de la seconde page, on trouve ces quatre noms :
V. Delaunay,<br>
N. Lebon,<br>
F. Gervais,<br>
A. Chevalier<br>
et une liste de onze noms, soigneusement biffés.
Je dois, en passant, signaler, page 34 des ''Œuvres'', l'omission de deux lignes, qui figurent dans le manuscrit et dans le texte de Liouville ; elles devraient terminer l'avant-dernier alinéa:
''…, en général par quantité rationnelle une quantité qui s'exprime en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.''
Dans la marge de la troisième page du manuscrit, en face du lemme III (page 36), se trouve la note an crayon que voici:
''La démonstration de ce lemme n'est pas suffisante ; mais il est vrai, d'après le n° 100 du Mémoire de Lagrange'', Berlin, 1775.
Au-dessous, Galois a écrit :
Nous avons transcrit textuellement la démonstration que nous avons donnée de ce lemme dans un Mémoire présenté en 1830. Nous y joignons comme document historique la note suivante qu'a cru devoir y apposer M. Poisson.
On jugera.
Puis, plus bas :
''Note de l'auteur.''
Galois voulait évidemment que la note de Poisson<ref>Grâce à l'obligeance de Mme de Blignières, j'ai pu comparer l'écriture de cette note avec celle de Poisson, dans une lettre à Liouville; aucun doute ne peut subsister.
</ref> et son propre commentaire fussent publiés. Au surplus, les notes de Poisson et de Galois figurent dans la copie de Chevalier et dans l'épreuve. Liouville les a supprimées finalement, pour des raisons évidentes.
La note de la page 37 des ''Œuvres'' est en face du lemme IV et semble le d'une encre différente de celle du texte; mais il ne me parait nullement certain que ce soit une addition de la dernière heure:
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je crois que Galois a dû, à cette dernière heure, remanier et développer hâtivement la démonstration de ce lemme IV; elle ne comportait probablement, dans le texte primitif, que quatre ou cinq lignes; elle est maintenant écrite, partie dans la marge, partie dans le blanc qui restait au bas de la page, d'une écriture serrée, nerveuse : au reste, un mot injurieux, biffé, et qui est de la même encre que le « chérubins » de la couverture ne laisse guère de doute sur l'impatience que ce passage a fait éprouver l'auteur.
La note de la page 38 des ''Œuvres'' est en marge, en face de la proposition I. A la site de cette note, avec l'indication « à reporter dans les définitions », se trouve ce qui est imprimé pages 35 et 36, à partir de la ligne 22 (Les substitutions sont…) jusqu'à la ligne 3 (la substitution ST); ce passage est en face du texte imprimé du milieu de la page 38 au milieu de la page 39.
En marge de la page suivante (cinquième) du manuscrit, et scholie II<ref>Les numéros I, II des scholies (p. 39 et 40) ne sont pas dans le manuscrit.</ref> (page 40) est immédiatement précédé de ces indications, qui sont biffées:
''Ce qui caractérise un groupe. On peut partir d'une des permutations quelconques du groupe.''
Vraisemblablement, c'est après avoir écrit et biffé ces lignes que Galois s'est décidé à écrire le passage « à reporter dans les définitions ». Un peu plus bas est la note «… je n'ai pas le temps », puis cinq lignes biffées, mais qui sont d'une écriture calme et remontent peut-être à la première rédaction, les voici:
Car si l'on élimine ''r'' entre f(V, r) = o et F ''r''= o F(''r'') étant du degré premier ''p'', il ne peut arriver que de deux choses l'une : ou le résultat de l'élimination sera de même degré en V que f(V, ''r'') ou il sera d'un degré ''p'' fois plus grand.
Ce passage biffé doit évidemment être rapproché des indications données dans le premier alinéa de la note de la page 40. Ces indications sont de Liouville; la note de Chevalier était ainsi conçue:
''vis-à-vis la démonstration de ce théorème, dans le manuscrit j'ai trouvé ceci''
« ''Il y a quelque chose…'' »
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C'est ainsi qu'elle figure dans l'épreuve. Les six premières lignes de la note de la page 40 sont donc de Liouville.
Au reste, Liouville a été visiblement préoccupé de cet endroit (proposition II) du texte de Galois : il a jugé un moment convenable de reprendre l'hypothèse primitive de Galois (''p'' premier) et d'éclaircir complètement la démonstration dans ce cas, par une note que je crois devoir transcrire, non pas qu'elle puisse apprendre quelque chose au lecteur, mais parce qu'elle me semble une trace touchante des soins et des scrupules que Liouville apportait dans sa publication ; le renvoi correspondrait à la ligne 20 de la page 40 des ''Œuvres'' :
''Ceci mérite d'être expliqué avec quelque détail.''
Désignons par, '(V) = o l'équation dont l'auteur parle, et soient f(NV, r), f1(V,,..., f..., - ) les facteurs irréductibles dans lesquels, (V) devient décomposable par l'adjonction de r, en sorte que, ( V) = f( ) (,,) 7( v (, )... / (V, I,). Comme r est racine d'une équation irréductible, on pourra dans le second membre remplacer r par r', 'r",., r(1). Ainsi (V)I) est le produit des i quantités suivantes f(V, /).(V, )... f(V, )(-') f,(V, r) fi(V, r')... fl(V,,.(-i)).fi- I (V,,')fi-i(V, I.,)... fi-i(V, 7(p-1)), dont chacune, symétrique en r, r',..., r' (P-1 et par suite exprimable en fonction rationnelle de V indépendamment de toute adjonction, doit diviser I(V)P et se réduire en conséquence a une simple puissance cl polynome q(V) qui cesse de se résoudre en facteurs lorsqu'on n'adjoint pas les auxiliaires r, r', etc. J'ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations J(V, r') = o,fl(V, r)= o,...,fi-_(V, r) = o qui dérivent de,'(V)= o et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d'être du même degré. En faisant donc .f(V,,)f(V, ')...f(V, (/,-,))- = (V)IV, on en conclura p = il. Mais p est premier ct i > i; donc on a i = p, d'o-) r = t, ct enfin (V) = f(V, r)f(V, r')... f(V,,(v —li). Cc qu'il fallait demontrer. LIOUVIILE.
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/17]]==
Assurément, en rédigeant cette note, Liouville se conformait au précepte d'être ( transcendantalement clair ) qu'il a rappelé dans l'avertissement aux ''Œuvres'' mathématiques de Galois. Il s'est aperçu ensuite en réfléchissant davantage, que la proposition T1 n'impliquait pas que le nombre p fit premier et il a soigneusement noté les différences essentielles entre les deux rédactions successives de l'auteur. Qu'il ait reculé devant les explications nécessaires pour donner à la pensee de Galois toute la clarté qu'il faudrait, cela, aujourd'hui, n'a aucun inconvénient. Page 41 des ''Œuvres'', les lettres l, v remplacent les lettres p, n dont s'est servi Galois ; pareil changement a été fait dans la lettre à Chevalier ; ces petites modifications, destinées à éviter des confusions possibles, sont de Liouville : les lettres p, n figurent encore dans l'épreuve. Les lignes 7, 8, 9 de la même page sont une addition marginale, mais qui ne semble pas de la dernière heure. Cette addition est suivie de la nouvelle rédaction de la proposition III, datée de 1832, sur laquelle l'attention est appelée dans la note qui est au bas de la page qui nous occupe. Ici encore, Liouville est intervenu ; la note de Chevalier était ainsi conçue. Dans le manuscrit de Galois l'énoncé du théorème qu'on vient de lire se trouve en marge et vis-à-vis de la démonstration qu'il en avait écrite d'abord. Celle-ci est effacée avec soin ; l'énoncé précédent porte la date 1832 et montre par la manière dont il est écrit que l'auteur était extrêmement pressé : ce qui confirme l'assertion que j'ai avancée dans la note précédente. C'est donc Liouville qui a déchiffré et intercalé le texte periiniif de la proposition III. La phrase (il suffit... substitutions), placée entre parenthèses au bas de la page 43 des OEuvres et en haut de la page 44, est une note marginale. Page 46, ligne a4, Galois a simplement écrit ( Journal de lE col(, XVII ). Il y a dans les manuscrits de Galois une feuille (double) qui est une sorte de brouillon de la proposition V ; ce brouillon a plasse en grande partie dans la rédaction du Mémoire ('). Ic ) Jc e pcnc l pas lU'il )y;it ilrit l pub!lier (,c brouillon.
- I -
==[[Page:Galois_-_Manuscrits,_édition_Tannery,_1908.djvu/18]]==
Avant de parler du manuscrit contenant le fragment imprimé dans les dernières pages des ''Œuvres'', je dois dire un mot d'une feuille détachée (') en partie d(eclli'e, qui, par le format du papier, la couleur de l'encre et la forme de l'écriture, parait avoir appartenu au cahier dont ce manuscrit faisait partie. Elle contient une rédaction antérieure de la proposition I et de sa démonstration, rédaction qui semble avoir été écrite au moment même où Galois venait de trouver cette démonstration : l'énoncé de la proposition fondamentale est, presque textuellement, le même que dans le Mémoire sur des conditions de résolubilité, puis viennent seize lignes barrées que je reproduis : Considérons d'abord un cas particulier. Supposons que l'équation donnée n'ait aucun diviseur rationnel et que toutes ses racines se déduisent rationnellement de l'une quelconque d'entre elles. La proposition sera facile à démontrer. En effet, dans notre hypothèse, toute fonction des racines s'exprimera en fonction d'une seule racine et sera de la forme y.R, x étant une racine. Soient X. XI =fX X. =fx..., X,,-i =f,,_-1X les in racines. Écrivons les in permutations ''1 f ixAl X 221 *X, f -1X2-,/n-l J /fiX l J/lxn *** Jfi-lXn, 1 X 1 1 f*I I 2X........ ft ILe reste de la démonstration suivait, contenu dans une douzaine de lignes qui sont devenues les lignes 13-26 de la page 39 des OEuvres : on distingue assez bien les x surcharges des V de la rédaction définitive ; ces douze lignes sont d'ailleurs réunies en marge par un trait, avec l'indication : à reporter plus loin. Galois a changé d'idée ; il trouve maintenant inutile de s'arrêter au cas particulier ; mais il semble que ce cas particulier lui ait été d'abord (')
C'est M. P. l)lpuy qui a appelé mon attention sur cette feuille. Quelques autres débris apportent un peu de Ilucutr sur la suite des idées de Galois : ils seront publiés dans un second article nécessaire,
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